Фото

У Вас есть замечания, вопросы по изложенному материалу, или же Вы просто хотите оставить свой отзыв? В конце каждой статьи доступны комментарии. Также Ваши пожелания и предложения можно отправлять на почту, ICQ или аккаунт VK.

Реклама

Решебник к книге Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу". Предел функции. №441- №450

Задача №441

Найти предел $\lim_{x\to-2}\frac{\sqrt[3]{x-6}+2}{x^3+8}$.

Решение

$$\lim_{x\to-2}\frac{\sqrt[3]{x-6}+2}{x^3+8}=\left|\frac{0}{0}\right|= \lim_{x\to-2}\frac{\sqrt[3]{x-6}+2}{(x+2)\left(x^2-2x+4\right)}=\\= \lim_{x\to-2}\frac{\left(\sqrt[3]{x-6}+2\right)\cdot\left(\sqrt[3]{(x-6)^2}-2\sqrt[3]{x-6}+4\right)}{(x+2)\left(x^2-2x+4\right)\cdot\left(\sqrt[3]{(x-6)^2}-2\sqrt[3]{x-6}+4\right)}=\\= \lim_{x\to-2}\frac{x+2}{(x+2)\left(x^2-2x+4\right)\cdot\left(\sqrt[3]{(x-6)^2}-2\sqrt[3]{x-6}+4\right)}=\\= \lim_{x\to-2}\frac{1}{\left(x^2-2x+4\right)\cdot\left(\sqrt[3]{(x-6)^2}-2\sqrt[3]{x-6}+4\right)}=\frac{1}{12\cdot{12}}=\frac{1}{144}.$$

Ответ: $\frac{1}{144}$.

Задача №442

Найти предел $\lim_{x\to{16}}\frac{\sqrt[4]{x}-2}{\sqrt{x}-4}$.

Решение

$$ \lim_{x\to{16}}\frac{\sqrt[4]{x}-2}{\sqrt{x}-4}=\left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{x\to{16}}\frac{\sqrt[4]{x}-2}{\left(\sqrt[4]{x}-2\right)\cdot\left(\sqrt[4]{x}+2\right)}=\lim_{x\to{16}}\frac{1}{\sqrt[4]{x}+2}=\frac{1}{4}. $$

Ответ: $\frac{1}{4}$.

Задача №443

Найти предел $\lim_{x\to{8}}\frac{\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x}-2}$.

Решение

$$ \lim_{x\to{8}}\frac{\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x}-2}=\left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{x\to{8}}\frac{\left(\sqrt{9+2x}-5\right)\cdot\left(\sqrt{9+2x}+5\right)\cdot\left(\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4\right)}{\left(\sqrt[3]{x}-2\right)\cdot\left(\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4\right)\cdot\left(\sqrt{9+2x}+5\right)}=\\= \lim_{x\to{8}}\frac{2\cdot\left(x-8\right)\cdot\left(\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4\right)}{\left(x-8\right)\cdot\left(\sqrt{9+2x}+5\right)}= 2\cdot\lim_{x\to{8}}\frac{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4}{\sqrt{9+2x}+5}=\frac{12}{5}. $$

Ответ: $\frac{12}{5}$.

Задача №444

Найти предел $\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}$, $n$ – натуральное число.

Решение

Делаем замену переменной, полагая $u=\sqrt[n]{1+x}-1$, откуда $x=(u+1)^n-1$. Выясним, к чему стремится переменная $u$ при условии $x\to{0}$, т.е. найдём значение $\lim_{x\to{0}}\left(\sqrt[n]{1+x}-1\right)$. Для начала докажем вспомогательное неравенство $\alpha^n≤\alpha$ при $\alpha\in(0;1)$ и $n\in{N}$ (доказательство я скрою под примечание).

Доказательство неравенства $\alpha^n≤\alpha$ при $\alpha\in(0;1)$ показать\скрыть

Пусть $|x|<1$ ($x\neq{0}$). Тогда при $-1<x<0$ получим $1-|x|=1-(-x)=1+x$. Согласно доказанному ранее имеем: $(1+x)^n≤1+x$, т.е. $(1-|x|)^n≤1+x$. Далее, $1+x<1<(1+|x|)^n$. Таким образом, $(1-|x|)^n≤1+x<(1+|x|)^n$. Аналогично, при $0<x<1$ будем иметь $(1-|x|)^n<1+x≤(1+|x|)^n$. Объединяя оба неравенства при условии $|x|<1$, получим: $(1-|x|)^n≤1+x≤(1+|x|)^n$, откуда (ввиду положительности всех частей неравенства) следует $1-|x|≤\sqrt[n]{1+x}≤1+|x|$. Так как $\lim_{x\to{0}}\left(1-|x|\right)=1$, $\lim_{x\to{0}}\left(1+|x|\right)=1$ и $1-|x|≤\sqrt[n]{1+x}≤1+|x|$, то $\lim_{x\to{0}}\sqrt[n]{1+x}=1$. Отсюда имеем $\lim_{x\to{0}}\left(\sqrt[n]{1+x}-1\right)=1-1=0$. Переходя к новой переменной, будем иметь:

$$ \lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}=\left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{u\to{0}}\frac{u}{(u+1)^n-1}=\lim_{u\to{0}}\frac{u}{C_{n}^{0}u^n+C_{n}^{1}u^{n-1}+\ldots+C_{n}^{n-1}u+C_{n}^{n}-1}=\\= \lim_{u\to{0}}\frac{u}{C_{n}^{0}u^n+C_{n}^{1}u^{n-1}+\ldots+C_{n}^{n-1}u}= \lim_{u\to{0}}\frac{u}{u\cdot\left(C_{n}^{0}u^{n-1}+C_{n}^{1}u^{n-2}+\ldots+C_{n}^{n-1}\right)}=\\= \lim_{u\to{0}}\frac{u}{C_{n}^{0}u^{n-1}+C_{n}^{1}u^{n-2}+\ldots+C_{n}^{n-1}}=\frac{1}{C_{n}^{n-1}}=\frac{1}{n}. $$

Есть и иной способ решения данного примера, – домножить на сопряжённое выражение, используя следующую формулу:

$$a^n-b^n=(a-b)\cdot\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\ldots+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)$$

Полагая $a=\sqrt[n]{1+x}$ и $b=1$ получим, что числитель и знаменатель дроби $\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}$ нужно домножить на выражение $\left(\sqrt[n]{(1+x)^{n-1}}+\sqrt[n]{(1+x)^{n-2}}+\sqrt[n]{(1+x)^{n-3}}+\ldots+\sqrt[n]{1+x}+1\right)$. После домножения, раскрытия скобок и упрощения получим, что

$$ \frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}=\frac{1}{\sqrt[n]{(1+x)^{n-1}}+\sqrt[n]{(1+x)^{n-2}}+\sqrt[n]{(1+x)^{n-3}}+\ldots+\sqrt[n]{1+x}+1} $$

Переходя к пределу, получим тот же ответ, что и ранее.

Ответ: $\frac{1}{n}$.

Задача №445

Найти предел $\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{1-2x-x^2}-(1+x)}{x}$.

Решение

$$ \lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{1-2x-x^2}-(1+x)}{x}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt{1-2x-x^2}-(1+x)\right)\cdot\left(\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x)\right)}{x\cdot\left(\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x)\right)}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{1-2x-x^2-(1+x)^2}{x\cdot\left(\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x)\right)} =\lim_{x\to{0}}\frac{-2x\cdot(x+2)}{x\cdot\left(\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x)\right)}=\\ =-2\cdot\lim_{x\to{0}}\frac{x+2}{\sqrt{1-2x-x^2}+1+x}=-2\cdot\frac{2}{2}=-2. $$

Ответ: $-2$.

Задача №446

Найти предел $\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{8+3x-x^2}-2}{x+x^2}$.

Решение

$$ \lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{8+3x-x^2}-2}{x+x^2}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt[3]{8+3x-x^2}-2\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(8+3x-x^2\right)^2}+2\sqrt[3]{8+3x-x^2}+4\right)}{\left(x+x^2\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(8+3x-x^2\right)^2}+2\sqrt[3]{8+3x-x^2}+4\right)}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{3x-x^2}{\left(x+x^2\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(8+3x-x^2\right)^2}+2\sqrt[3]{8+3x-x^2}+4\right)}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{x(3-x)}{x\left(1+x\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(8+3x-x^2\right)^2}+2\sqrt[3]{8+3x-x^2}+4\right)}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{3-x}{\left(1+x\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(8+3x-x^2\right)^2}+2\sqrt[3]{8+3x-x^2}+4\right)}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}. $$

Ответ: $\frac{1}{4}$.

Задача №447

Найти предел $\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{27+x}-\sqrt[3]{27-x}}{x+2\sqrt[3]{x^4}}$.

Решение

$$ \lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{27+x}-\sqrt[3]{27-x}}{x+2\sqrt[3]{x^4}}=\left|\frac{0}{0}\right|=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt[3]{27+x}-\sqrt[3]{27-x}\right)\cdot\left(\sqrt[3]{(27+x)^2}+\sqrt[3]{27+x}\cdot\sqrt[3]{27-x}+\sqrt[3]{(27-x)^2}\right)}{\left(x+2\sqrt[3]{x^4}\right)\cdot\left(\sqrt[3]{(27+x)^2}+\sqrt[3]{27+x}\cdot\sqrt[3]{27-x}+\sqrt[3]{(27-x)^2}\right)}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{2x}{x\cdot\left(1+2\sqrt[3]{x}\right)\cdot\left(\sqrt[3]{(27+x)^2}+\sqrt[3]{27+x}\cdot\sqrt[3]{27-x}+\sqrt[3]{(27-x)^2}\right)}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{2}{\left(1+2\sqrt[3]{x}\right)\cdot\left(\sqrt[3]{(27+x)^2}+\sqrt[3]{27+x}\cdot\sqrt[3]{27-x}+\sqrt[3]{(27-x)^2}\right)}=\frac{2}{27}. $$

Ответ: $\frac{2}{27}$.

Задача №448

Найти предел $\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}$.

Решение

$$ \lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}=\left|\frac{0}{0}\right|=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\right)\cdot\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)\cdot\left(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{1+x}\cdot\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{(1-x)^2}\right)}{\left(\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}\right)\cdot\left(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{1+x}\cdot\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{(1-x)^2}\right)\cdot\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{2x\cdot\left(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{1+x}\cdot\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{(1-x)^2}\right)}{2x\cdot\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{1+x}\cdot\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{(1-x)^2}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}=\frac{3}{2}. $$

Ответ: $\frac{3}{2}$.

Задача №449

Найти предел $\lim_{x\to{7}}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}$.

Решение

Этот пример можно решить несколькими способами; выбирайте тот, который вам более нравится: домножить на сопряжённое, разбить на два предела, применить асимптотические равенства (метод выделения главной части).

Первый способ

Чтобы не загромождать решение длинными записями, я заранее напишу те сопряжённые выражения, на которые будем домножать:

$$ \begin{aligned} & P(x)=\sqrt{x+2}+\sqrt[3]{x+20};\;\lim_{x\to{7}}P(x)=6.\\ & Q(x)=(x+2)^2+(x+2)\cdot\sqrt[3]{(x+2)^2}+\sqrt[3]{(x+20)^4};\;\lim_{x\to{7}}Q(x)=243.\\ & R(x)=\left(\sqrt[4]{x+9}+2\right)\cdot\left(\sqrt{x+9}+4\right);\;\lim_{x\to{7}}R(x)=32. \end{aligned} $$ $$ \lim_{x\to{7}}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{7}}\frac{\left(\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}\right)\cdot{P(x)}\cdot{Q(x)}\cdot{R(x)}}{\left(\sqrt[4]{x+9}-2\right)\cdot{R(x)}\cdot{P(x)}\cdot{Q(x)}}=\\ =\lim_{x\to{7}}\frac{\left((x+2)^3-(x+20)^2\right)\cdot{R(x)}}{\left(x-7\right)\cdot{P(x)}\cdot{Q(x)}} =\lim_{x\to{7}}\frac{\left(x^3+5x^2-28x-392\right)\cdot{R(x)}}{\left(x-7\right)\cdot{P(x)}\cdot{Q(x)}}=\\ =\lim_{x\to{7}}\frac{(x-7)\left(x^2+12x+56\right)\cdot{R(x)}}{\left(x-7\right)\cdot{P(x)}\cdot{Q(x)}} =\lim_{x\to{7}}\frac{\left(x^2+12x+56\right)\cdot{R(x)}}{P(x)\cdot{Q(x)}} =\frac{189\cdot{32}}{6\cdot{243}}=\frac{112}{27}. $$

Второй способ

При решении этим способом выражение под пределом требуется разбить на два и после преобразований рассмотреть два предела по отдельности. Я вновь введу сокращенные обозначения для сопряжённых выражений:

$$ \begin{aligned} & P(x)=\sqrt{x+2}+3;\;\lim_{x\to{7}}P(x)=6.\\ & Q(x)=\sqrt[3]{(x+20)^2}+3\cdot\sqrt[3]{x+2}+9;\;\lim_{x\to{7}}Q(x)=27.\\ & R(x)=\left(\sqrt[4]{x+9}+2\right)\cdot\left(\sqrt{x+9}+4\right);\;\lim_{x\to{7}}R(x)=32. \end{aligned} $$ $$ \lim_{x\to{7}}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{7}}\frac{\sqrt{x+2}-3-\sqrt[3]{x+20}+3}{\sqrt[4]{x+9}-2}=\\ =\lim_{x\to{7}}\left(\frac{\sqrt{x+2}-3}{\sqrt[4]{x+9}-2}-\frac{\sqrt[3]{x+20}-3}{\sqrt[4]{x+9}-2}\right)=\\ =\lim_{x\to{7}}\left(\frac{\left(\sqrt{x+2}-3\right)\cdot{P(x)}\cdot{R(x)}}{\left(\sqrt[4]{x+9}-2\right)\cdot{R(x)}\cdot{P(x)}}-\frac{\left(\sqrt[3]{x+20}-3\right)\cdot{Q(x)}\cdot{R(x)}}{\left(\sqrt[4]{x+9}-2\right)\cdot{R(x)}\cdot{Q(x)}}\right)=\\ =\lim_{x\to{7}}\left(\frac{\left(x-7\right)\cdot{R(x)}}{\left(x-7\right)\cdot{P(x)}}-\frac{\left(x-7\right)\cdot{R(x)}}{\left(x-7\right)\cdot{Q(x)}}\right)=\\ =\lim_{x\to{7}}\frac{R(x)}{P(x)}-\lim_{x\to{7}}\frac{R(x)}{Q(x)}=\frac{32}{6}-\frac{32}{27}=\frac{112}{27}. $$

Третий способ

При решении этим способом применим асимптотические равенства:

$$ \begin{aligned} & \sqrt{x+2}=\sqrt{9+x-7}=3\cdot\left(1+\frac{x-7}{9}\right)^{\frac{1}{2}}=3\cdot\left(1+\frac{x-7}{2\cdot{9}}+o(x-7)\right)=3+\frac{x-7}{6}+o(x-7);\\ & \sqrt[3]{x+20}=\sqrt[3]{27+x-7}=3\cdot\left(1+\frac{x-7}{27}\right)^{\frac{1}{3}}=3\cdot\left(1+\frac{x-7}{27\cdot{3}}+o(x-7)\right)=3+\frac{x-7}{27}+o(x-7);\\ & \sqrt[4]{x+9}=\sqrt[4]{16+x-7}=2\cdot\left(1+\frac{x-7}{16}\right)^{\frac{1}{4}}=2\cdot\left(1+\frac{x-7}{16\cdot{4}}+o(x-7)\right)=2+\frac{x-7}{32}+o(x-7). \end{aligned} $$ $$ \lim_{x\to{7}}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{7}}\frac{3+\frac{x-7}{6}+o(x-7)-\left(3+\frac{x-7}{27}+o(x-7)\right)}{2+\frac{x-7}{32}+o(x-7)-2}=\\ =\lim_{x\to{7}}\frac{112(x-7)+o(x-7)}{27(x-7)+o(x-7)}=\left|\begin{aligned}&112(x-7)+o(x-7)\sim{112(x-7)};\\&27(x-7)+o(x-7)\sim{27(x-7)}.\end{aligned}\right|=\lim_{x\to{7}}\frac{112(x-7)}{27(x-7)}=\frac{112}{27}. $$

Ответ: $\frac{112}{27}$.

Задача №450

Найти предел $\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{1+\frac{x}{3}}-\sqrt[4]{1+\frac{x}{4}}}{1-\sqrt{1-\frac{x}{2}}}$.

Решение

Здесь можно использовать любой из трёх способов, применённых при решении предыдущей задачи №449. Решим данный пример с помощью асимптотических равенств, так как этот путь наиболее короток:

$$ \begin{aligned} & \sqrt[3]{1+\frac{x}{3}}=\left(1+\frac{x}{3}\right)^\frac{1}{3}=1+\frac{x}{3\cdot{3}}+o(x)=1+\frac{x}{9}+o(x);\\ & \sqrt[4]{1+\frac{x}{4}}=\left(1+\frac{x}{4}\right)^\frac{1}{4}=1+\frac{x}{4\cdot{4}}+o(x)=1+\frac{x}{16}+o(x);\\ & \sqrt{1-\frac{x}{2}}=\left(1+\left(-\frac{x}{2}\right)\right)^\frac{1}{2}=1-\frac{x}{2\cdot{2}}+o(x)=1-\frac{x}{4}+o(x). \end{aligned} $$ $$ \lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{1+\frac{x}{3}}-\sqrt[4]{1+\frac{x}{4}}}{1-\sqrt{1-\frac{x}{2}}}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{0}}\frac{1+\frac{x}{9}+o(x)-\left(1+\frac{x}{16}+o(x)\right)}{1-\left(1-\frac{x}{4}+o(x)\right)}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{7x+o(x)}{36x+o(x)} =\left|\begin{aligned}&7x+o(x)\sim{7x};\\&36x+o(x)\sim{36x}.\end{aligned}\right|=\lim_{x\to{0}}\frac{7x}{36x}=\frac{7}{36}. $$

Ответ: $\frac{7}{36}$.

Вернуться к списку тем Задать вопрос на форуме Мой аккаунт ВКонтакте Заказать решение своих задач