Второй замечательный предел

Обычно второй замечательный предел записывают в такой форме:

$$ \begin{equation} \lim_{x\to\infty} \left (1+\frac{1}{x} \right )^x=e \end{equation}$$

Число $e$, указанное в правой части равенства (1), является иррациональным. Приближённое значение этого числа таково: $e \approx 2,718281828459045$. Если сделать замену $t=\frac{1}{x}$, то формулу (1) можно переписать в следующем виде:

$$ \begin{equation} \lim_{t\to 0} \biggl (1+t \biggr )^{\frac{1}{t}}=e \end{equation}$$

Как и для первого замечательного предела, неважно, какое выражение стоит вместо переменной $x$ в формуле (1) или вместо переменной $t$ в формуле (2). Главное – выполнение двух условий:

  1. Основание степени (т.е. выражение в скобках формул (1) и (2)) должно стремиться к единице;
  2. Показатель степени (т.е. $x$ в формуле (1) или $\frac{1}{t}$ в формуле (2)) должен стремиться к бесконечности.

Говорят, что второй замечательный предел раскрывает неопределенность $1^\infty$. Заметьте, что в формуле (1) мы не уточняем, о какой именно бесконечности ($+\infty$ или $-\infty$) идёт речь. В любом из этих случаев формула (1) верна. В формуле (2) переменная $t$ может стремиться к нулю как слева, так и справа.

Отмечу, что есть также несколько полезных следствий из второго замечательного предела. Примеры на использование второго замечательного предела, равно как и следствий из него, очень популярны у составителей стандартных типовых расчётов и контрольных работ.

Пример №1

Вычислить предел $\lim_{x\to\infty} \left ( \frac{3x+1}{3x-5} \right ) ^ {4x+7}$.

Решение

Проверим, что основание степени (т.е. $\frac {3x+1}{3x-5}$) стремится к единице: $\lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{3x-5}=\left | \frac{\infty}{\infty} \right |=\lim_{x\to\infty}\frac{3+\frac{1}{x}}{3-\frac{5}{x}}=\frac{3+0}{3-0}=1$. При этом показатель степени (выражение $4x+7$) стремится к бесконечности, т.е. $\lim_{x\to\infty}(4x+7)=\infty$.

Основание степени стремится к единице, показатель степени – к бесконечности, т.е. мы имеем дело с неопределенностью $1^\infty$. Применим формулу (1) для раскрытия этой неопределённости. Для начала отметим, что в основании степени формулы (1) расположено выражение $1+\frac{1}{x}$, а в рассматриваемом нами примере основание степени таково: $\frac{3x+1}{3x-5}$. Посему первым действием станет формальная подгонка выражения $\frac{3x+1}{3x-5}$ под вид $1+\frac{1}{x}$. Для начала прибавим и вычтем единицу:

$$\lim_{x\to\infty} \left ( \frac{3x+1}{3x-5} \right )^{4x+7}=|1^\infty|=\lim_{x\to\infty} \left (1+ \frac{3x+1}{3x-5}-1 \right )^{4x+7}$$

Следует отметить, что просто так добавить единицу нельзя. Если мы вынуждены добавить $1$, то её же нужно и вычесть, дабы не изменять значения всего выражения. Для продолжения решения учтем, что $\frac{3x+1}{3x-5}-1=\frac{3x+1}{3x-5}-\frac{3x-5}{3x-5}=\frac{3x+1-3x+5}{3x-5}=\frac{6}{3x-5}$, поэтому:

$$\lim_{x\to\infty} \left (1+ \frac{3x+1}{3x-5}-1 \right )^{4x+7}=\lim_{x\to\infty} \left (1+ \frac{6}{3x-5} \right )^{4x+7}$$

Продолжим «подгонку». В выражении $1+\frac{1}{x}$ формулы (1) в числителе дроби находится $1$, а в нашем выражении $1+\frac{6}{3x-5}$ в числителе находится $6$. Чтобы получить $1$ в числителе, опустим $6$ в знаменатель: $1+\frac{6}{3x-5}=1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}$.

$$ \lim_{x\to\infty} \left (1+ \frac{6}{3x-5} \right )^{4x+7} = \lim_{x\to\infty} \left (1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}} \right )^{4x+7}$$

Итак, основание степени, т.е. $1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}$, подогнано под вид $1+\frac{1}{x}$, который требуется в формуле (1). Теперь начнём работать с показателем степени. Заметьте, что в формуле (1) выражения, стоящие в показатели степени и в знаменателе, одинаковы:

Второй замечательный предел

Значит, и в нашем примере показатель степени и знаменатель нужно привести к одинаковой форме. Чтобы получить в показателе степени выражение $\frac{3x-5}{6}$, просто домножим показатель степени на эту дробь. Естественно, что для компенсации такого домножения, придется тут же домножить на обратную дробь, т.е. на $\frac{6}{3x-5}$. Итак, имеем:

$$\lim_{x\to\infty} \left (1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}} \right )^{4x+7}=\lim_{x\to\infty} \left (1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}} \right )^{\frac{3x-5}{6}\cdot\frac{6}{3x-5}\cdot(4x+7)}$$

Выражение $\lim_{x\to\infty} \left (1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}} \right )^{\frac{3x-5}{6}}$ полностью соответствует записи второго замечательного предела согласно формуле (1). Следовательно, $\lim_{x\to\infty} \left (1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}} \right )^{\frac{3x-5}{6}}=e$. Учитывая это, получим:

$$\lim_{x\to\infty} \left (1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}} \right )^{\frac{3x-5}{6}\cdot\frac{6}{3x-5}\cdot(4x+7)}=e^{\lim_{x\to\infty} \left (\frac{6}{3x-5}\cdot(4x+7)\right)}$$

Так как $\lim_{x\to\infty} \left (\frac{6}{3x-5}\cdot(4x+7)\right)=6\cdot\lim_{x\to\infty}\frac{4x+7}{3x-5}=\left | \frac{\infty}{\infty} \right |=6\cdot\lim_{x\to\infty}\frac{4+\frac{7}{x}}{3-\frac{5}{x}}=6\cdot\frac{4}{3}=8 $, то:

$$e^{\lim_{x\to\infty} \left (\frac{6}{3x-5}\cdot(4x+7)\right)}=e^8$$

Ответ получен, $\lim_{x\to\infty} \left ( \frac{3x+1}{3x-5} \right ) ^ {4x+7}=e^8$. Полное решение без пояснений и промежуточных выкладок выглядит так:

$$\lim_{x\to\infty} \left ( \frac{3x+1}{3x-5} \right ) ^ {4x+7}=|1^\infty|=\lim_{x\to\infty} \left (1+ \frac{3x+1}{3x-5}-1 \right )^{4x+7}=\lim_{x\to\infty} \left (1+ \frac{6}{3x-5} \right )^{4x+7}= \\ =\lim_{x\to\infty} \left (1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}} \right )^{4x+7}=\lim_{x\to\infty} \left (1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}} \right )^{\frac{3x-5}{6}\cdot\frac{6}{3x-5}\cdot(4x+7)}=e^{\lim_{x\to\infty} \left (\frac{6}{3x-5}\cdot(4x+7)\right)}=e^8.$$

Ответ: $\lim_{x\to\infty} \left ( \frac{3x+1}{3x-5} \right ) ^ {4x+7}=e^8$.

Пример №2

Найти предел $\lim_{x\to1} \biggl ( 7-6x \biggr ) ^ {\frac{x}{3x-3}}$.

Решение

Выражение, стоящее в основании степени, т.е. $7-6x$, стремится к единице при условии $x\to 1$, т.е. $\lim_{x\to 1}(7-6x)=7-6\cdot1=1$. Для показателя степени, т.е. $\frac{x}{3x-3}$, получаем: $\lim_{x\to 1}\frac{x}{3x-3}=\infty$. Итак, здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $1^\infty$, которую раскроем с помощью второго замечательного предела.

Для начала отметим, что в формуле (1) переменная $x$ стремится к бесконечности, в формуле (2) переменная $t$ стремится к нулю. В нашем случае $x\to 1$, поэтому имеет смысл ввести новую переменную, чтобы она стремилась или к нулю (тогда применим формулу (2)), или к бесконечности (тогда применим формулу (1)). Введение новой переменной, вообще говоря, не является обязательным, это будет сделано просто для удобства решения. Проще всего новую переменную $y$ ввести так: $y=x-1$. Так как $x\to 1$, то ${x-1}\to 0$, т.е. $y\to 0$. Подставляя $x=y+1$ в рассматриваемый пример, и учитывая $y\to 0$, получим:

$$ \lim_{x\to1} \biggl ( 7-6x \biggr ) ^ {\frac{x}{3x-3}} = \left | \begin{aligned} y=x-1\\ x=y+1\\ y\to 0 \end{aligned} \right | = \lim_{y\to 0} \biggl ( 7-6\cdot (y+1) \biggr )^{\frac{y+1}{3\cdot(y+1)-3}}=\lim_{y\to 0}\biggl ( 1-6y \biggr )^\frac{y+1}{3y}=\lim_{y\to 0}\biggl ( 1+(-6y) \biggr )^\frac{y+1}{3y}$$

Применим формулу (2). Выражение в основании степени в формуле (2), т.е. $1+t$, соответствует форме выражения в основании степени нашего примера, т.е. $1+(-6y)$ (выражение $-6y$ играет роль $t$). Формула (2) предполагает, что показатель степени будет иметь вид $\frac{1}{t}$, т.е. в нашем случае в показателе степени следует получить $\frac{1}{-6y}$. Домножим показатель степени на выражение $\frac{1}{-6y}$. Для компенсации такого домножения нужно домножить показатель степени на обратную дробь, т.е. на выражение $\frac{-6y}{1}=-6y$:

$$ \lim_{y\to 0}\biggl ( 1-6y \biggr )^\frac{y+1}{3y}=\lim_{y\to 0}\biggl ( 1+(-6y) \biggr )^{-\frac{1}{6y}\cdot(-6y)\cdot\frac{y+1}{3y}}=\\ =e^{\lim_{x\to 0}\left((-6y)\cdot\frac{y+1}{3y}\right)}=e^{\lim_{t\to 0} \left( (-2)\cdot (y+1) \right)}=e^{-2\cdot(0+1)}=e^{-2}=\frac{1}{e^2}. $$

Итак, $\lim_{x\to1} \biggl ( 7-6x \biggr ) ^ {\frac{x}{3x-3}}=\frac{1}{e^2}$. Полное решение без пояснений таково:

$$ \lim_{x\to1} \biggl ( 7-6x \biggr ) ^ {\frac{x}{3x-3}} = \left | \begin{aligned} y=x-1\\ x=y+1\\ y\to 0 \end{aligned} \right | = \lim_{y\to 0} \biggl ( 7-6\cdot (y+1) \biggr )^{\frac{y+1}{3\cdot(y+1)-3}}=\lim_{y\to 0}\biggl ( 1-6y \biggr )^\frac{y+1}{3y}=\\ =\lim_{y\to 0}\biggl ( 1+(-6y) \biggr )^{-\frac{1}{6y}\cdot(-6y)\cdot\frac{y+1}{3y}}= =e^{\lim_{x\to 0}\left((-6y)\cdot\frac{y+1}{3y}\right)}=e^{\lim_{t\to 0} \left( (-2)\cdot (y+1) \right)}=e^{-2\cdot(0+1)}=e^{-2}=\frac{1}{e^2}. $$

Ответ: $\lim_{x\to1} \biggl ( 7-6x \biggr ) ^ {\frac{x}{3x-3}}=\frac{1}{e^2}$.

Пример №3

Найти предел $\lim_{x\to0} \biggl ( \cos 2x\biggr ) ^ {\frac{1}{\sin^2 3x}}$.

Решение

Так как $\lim_{x\to0}(\cos 2x)=1$ и $\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sin^2 3x}=\infty$ (напомню, что $\sin u\to 0$ при $u\to 0$), то мы имеем дело с неопределённостью вида $1^\infty$. Преобразования, аналогичные рассмотренным в примерах №1 и №2, укажем без подробных пояснений, ибо они были даны ранее:

$$ \lim_{x\to0} \biggl ( \cos 2x\biggr ) ^ {\frac{1}{\sin^2 3x}}=|1^\infty|=\lim_{x\to 0}\biggl ( 1+\cos 2x-1\biggr ) ^ {\frac{1}{\sin^2 3x}} $$

Так как $\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$, то $\cos2x-1=-2\sin^2x$, поэтому:

$$ \lim_{x\to 0}\biggl ( 1+\cos 2x-1\biggr ) ^ {\frac{1}{\sin^2 3x}}=\lim_{x\to 0}\biggl ( 1+(-2\sin^2x)\biggr ) ^ {\frac{1}{-2\sin^2 x}\cdot(-2\sin^2x)\cdot\frac{1}{\sin^2 3x}}=\\ =e^{\lim_{x\to 0}\left((-2\sin^2 x)\cdot\frac{1}{\sin^2 3x}\right)}=e^{-2\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2 x}{\sin^2 3x}}=e^{-2\cdot\frac{1}{9}}=e^{-\frac{2}{9}} $$

Подробное описание того, как находить предел $\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2 x}{\sin^2 3x}$ дано в соответствующем разделе.

Ответ: $\lim_{x\to0} \biggl ( \cos 2x\biggr ) ^ {\frac{1}{\sin^2 3x}}=e^{-\frac{2}{9}}$.

Пример №4

Найти предел $\lim_{x\to +\infty} x\left(\ln(x+1)-\ln x\right) $.

Решение

Так как $\ln(x+1)-\ln x=\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)$, то $\lim_{x\to +\infty} x\left(\ln(x+1)-\ln x\right)=\lim_{x\to +\infty}\left(x\cdot\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)\right) $. Раскладывая дробь $\frac{x+1}{x}$ на сумму дробей $\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}$ получим:

$$ \lim_{x\to +\infty}\left(x\cdot\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)\right)=\lim_{x\to +\infty}\left(x\cdot\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right) =\lim_{x\to +\infty}\left(\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)^x\right)=\ln e=1. $$

Ответ: $\lim_{x\to +\infty} x\left(\ln(x+1)-\ln x\right)=1$.

Пример №5

Найти предел $\lim_{x\to 2} \biggl(3x-5\biggr)^{\frac{2x}{x^2-4}} $.

Решение

Так как $\lim_{x\to 2}(3x-5)=6-5=1$ и $\lim_{x\to 2}\frac{2x}{x^2-4}=\infty$, то мы имеем дело с неопределенностью вида $|1^\infty|$. Подробные пояснения даны в примере №2, здесь же ограничимся кратким решением. Сделав замену $t=x-2$, получим:

$$ \lim_{x\to 2} \biggl(3x-5\biggr)^{\frac{2x}{x^2-4}}=\left| \begin{aligned} t=x-2\\ x=t+2\\ t\to 0 \end{aligned} \right | =\lim_{t\to 0} \biggl(1+3t\biggr)^{\frac{2t+4}{t^2+4t}} =\lim_{t\to 0} \biggl(1+3t\biggr)^{\frac{1}{3t}\cdot 3t\cdot\frac{2t+4}{t^2+4t}}=\\ =e^{\lim_{t\to 0}\left(3t\cdot\frac{2t+4}{t\cdot(t+4)}\right)} =e^{\lim_{t\to 0}\left(3\cdot\frac{2t+4}{t+4}\right)}=e^3. $$
Рассмотрим иной вариант замены: $t=\frac{1}{x-2}$:
$$ \lim_{x\to 2} \biggl(3x-5\biggr)^{\frac{2x}{x^2-4}}=\left| \begin{aligned} t=\frac{1}{x-2}\\ x=\frac{2t+1}{t}\\ t\to \infty \end{aligned} \right | =\lim_{t\to \infty} \biggl(1+\frac{3}{t}\biggr)^{t\cdot\frac{4t+2}{4t+1}} =\lim_{t\to \infty} \biggl(1+\frac{1}{\frac{t}{3}}\biggr)^{\frac{t}{3}\cdot \frac{3}{t}\cdot\frac{t\cdot(4t+2)}{4t+1}}=\\ =e^{\lim_{t\to \infty}\left(\frac{3}{t}\cdot\frac{t\cdot(4t+2)}{4t+1}\right)} =e^{\lim_{t\to \infty}\left(\frac{3\cdot(4t+2)}{4t+1}\right)}=e^3. $$

Ответ: $\lim_{x\to 2} \biggl(3x-5\biggr)^{\frac{2x}{x^2-4}}=e^3$.

Пример №6

Найти предел $\lim_{x\to \infty} \left(\frac{2x^2+3}{2x^2-4}\right)^{x} $.

Решение

Так как $\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+3}{2x^2-4}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right|=\lim_{x\to\infty}\frac{2+\frac{3}{x^2}}{2-\frac{4}{x^2}}=\frac{2+0}{2-0}=1$, то здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $1^\infty$, которую раскроем с помощью второго замечательного предела:

$$ \lim_{x\to \infty} \left(\frac{2x^2+3}{2x^2-4}\right)^{x}=|1^\infty| =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2x^2+3}{2x^2-4}-1\right)^{3x} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{7}{2x^2-4}\right)^{3x}=\\ =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{2x^2-4}{7}}\right)^{3x} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{2x^2-4}{7}}\right)^{\frac{2x^2-4}{7}\cdot\frac{7}{2x^2-4}\cdot 3x}= e^{\lim_{x\to\infty}\frac{21x}{2x^2-4}}=e^0=1. $$

Ответ: $\lim_{x\to \infty} \left(\frac{2x^2+3}{2x^2-4}\right)^{x}=1$.

Перейти к содержанию