Решение
Вычисление матрицы \(D\) начнем с нахождения результата произведения \(AB\). Матрицы \(A\) и \(B\) можно перемножать, так как количество столбцов матрицы \(A\) равно количеству строк матрицы \(B\). Обозначим \(F=AB\). При этом матрица \(F\) будет иметь три столбца и три строки, т.е. будет квадратной (если этот вывод кажется неочевидным, посмотрите описание умножения матриц в первой части этой темы). Найдем матрицу \(F\), вычислив все её элементы:
\[
F=A\cdot B=\left(\begin{array} {cccc}
1 & 0 & -1 & 2 \\
3 & -2 & 5 & 0 \\
-1 & 4 & -3 & 6
\end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {ccc}
-9 & 1 & 0 \\
2 & -1 & 4 \\
0 & -2 & 3 \\
1 & 5 & 0
\end{array} \right)\\
\begin{aligned}
& f_{11}=1\cdot (-9)+0\cdot 2+(-1)\cdot 0+2\cdot 1=-7; \\
& f_{12}=1\cdot 1+0\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+2\cdot 5=13; \\
& f_{13}=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \\
& f_{21}=3\cdot (-9)+(-2)\cdot 2+5\cdot 0+0\cdot 1=-31;\\
& f_{22}=3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+5\cdot (-2)+0\cdot 5=-5;\\
& f_{23}=3\cdot 0+(-2)\cdot 4+5\cdot 3+0\cdot 0=7;\\ \\
& f_{31}=-1\cdot (-9)+4\cdot 2+(-3)\cdot 0+6\cdot 1=23; \\
& f_{32}=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\
& f_{33}=-1\cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7.
\end{aligned}
\]
Итак, \(F=\left(\begin{array} {ccc}
-7 & 13 & -3 \\
-31 & -5 & 7 \\
23 & 31 & 7
\end{array} \right)\). Пойдём далее. Матрица \(C^T\) – транспонированная матрица для матрицы \(C\), т.е.
\(
C^T=\left(\begin{array} {ccc}
-5 & 10 & 3 \\
-20 & 12 & -15 \\
13 & 9 & 8
\end{array} \right)
\). Что же касаемо матрицы \(E\), то это есть единичная матрица. В данном случае порядок этой матрицы равен трём, т.е. \(E=\left(\begin{array} {ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array} \right)\).
В принципе, мы и дальше можем идти пошагово, но оставшееся выражение лучше рассматривать целиком, не отвлекаясь на вспомогательные действия. По сути, нам остались лишь операции умножения матриц на число, а также операции сложения и вычитания.
\[
D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \left(\begin{array} {ccc}
-7 & 13 & -3 \\
-31 & -5 & 7 \\
23 & 31 & 7
\end{array} \right)-3\cdot \left(\begin{array} {ccc}
-5 & 10 & 3 \\
-20 & 12 & -15 \\
13 & 9 & 8
\end{array} \right)+7\cdot \left(\begin{array} {ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array} \right)
\]
Умножим матрицы в правой части равенства на соответствующие числа (т.е. на 2, 3 и 7):
\[
2\cdot \left(\begin{array} {ccc}
-7 & 13 & -3 \\
-31 & -5 & 7 \\
23 & 31 & 7
\end{array} \right)-3\cdot \left(\begin{array} {ccc}
-5 & 10 & 3 \\
-20 & 12 & -15 \\
13 & 9 & 8
\end{array} \right)+7\cdot \left(\begin{array} {ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array} \right)=\\=
\left(\begin{array} {ccc}
-14 & 26 & -6 \\
-62 & -10 & 14 \\
46 & 62 & 14
\end{array} \right)-\left(\begin{array} {ccc}
-15 & 30 & 9 \\
-60 & 36 & -45 \\
39 & 27 & 24
\end{array} \right)+\left(\begin{array} {ccc}
7 & 0 & 0 \\
0 & 7 & 0 \\
0 & 0 & 7
\end{array} \right)
\]
Выполним последние действия: вычитание и сложение:
\[
\left(\begin{array} {ccc}
-14 & 26 & -6 \\
-62 & -10 & 14 \\
46 & 62 & 14
\end{array} \right)-\left(\begin{array} {ccc}
-15 & 30 & 9 \\
-60 & 36 & -45 \\
39 & 27 & 24
\end{array} \right)+\left(\begin{array} {ccc}
7 & 0 & 0 \\
0 & 7 & 0 \\
0 & 0 & 7
\end{array} \right)=\\
=\left(\begin{array} {ccc}
-14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \\
-62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \\
46-39+0 & 62-27+0 & 14-24+7
\end{array} \right)=
\left(\begin{array} {ccc}
8 & -4 & -15 \\
-2 & -39 & 59 \\
7 & 35 & -3
\end{array} \right).
\]
Задача решена, \(D=\left(\begin{array} {ccc}
8 & -4 & -15 \\
-2 & -39 & 59 \\
7 & 35 & -3
\end{array} \right)\).