AMKbook.Net Задачи должны иметь решение
Реклама

Возведение матрицы в степень. Вычисление результатов выражений с матрицами.

Здесь мы продолжим начатую в предыдущем параграфе тему операций над матрицами и разберём пару примеров, в которых потребуется применять несколько операций сразу.

Возведение матрицы в степень.

Пусть k – целое неотрицательное число. Для любой квадратной матрицы \(A_{n\times n}\) имеем:

\[ A^k=\underbrace{A\cdot A\cdot \ldots \cdot A}_{k \; раз} \]

При этом полагаем, что \(A^0=E\), где \(E\) – единичная матрица соответствующего порядка.

Задача №1

Условие

Задана матрица \(A=\left(\begin{array} {cc} 1 & 2 \\ -1 & -3 \end{array} \right)\). Найти матрицы \(A^2\) и \(A^6\).

Решение

Согласно определению \(A^2=A\cdot A\), т.е. для нахождения \(A^2\) нам просто нужно умножить матрицу \(A\) саму на себя. Операция умножения матриц рассматривалась в первой части темы, поэтому тут просто запишем процесс решения без подробных пояснений:

\[ A^2=A\cdot A=\left(\begin{array} {cc} 1 & 2 \\ -1 & -3 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} 1 & 2 \\ -1 & -3 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {cc} 1\cdot 1+2\cdot (-1) & 1\cdot 2+2\cdot (-3) \\ -1\cdot 1+(-3)\cdot (-1) & -1\cdot 2+(-3)\cdot (-3) \end{array} \right)= \left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right). \]

Чтобы найти матрицу \(A^6\) у нас есть два варианта. Вариант первый: банально продолжить домножать \(A^2\) на матрицу \(A\):

\[ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A. \]

Однако можно пойти несколько более простым путём, используя свойство ассоциативности умножения матриц. Расставим скобки в выражении для \(A^6\):

\[ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A=A^2\cdot (A\cdot A)\cdot (A\cdot A)=A^2\cdot A^2\cdot A^2. \]

Если при решении первым способом потребовалось бы четыре операции умножения, то для второго способа – лишь две. Поэтому пойдём вторым путём:

\[ A^6=A^2\cdot A^2\cdot A^2=\left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right)=\\= \left(\begin{array} {cc} -1\cdot (-1)+(-4)\cdot 2 & -1\cdot (-4)+(-4)\cdot 7 \\ 2\cdot (-1)+7\cdot 2 & 2\cdot (-4)+7\cdot 7 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {cc} -7 & -24 \\ 12 & 41 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right)=\\= \left(\begin{array} {cc} -7\cdot(-1)+(-24)\cdot 2 & -7\cdot (-4)+(-24)\cdot 7 \\ 12\cdot (-1)+41\cdot 2 & 12\cdot (-4)+41\cdot 7 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {cc} -41 & -140 \\ 70 & 239 \end{array} \right). \]
Ответ:

\(A^2=\left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right)\), \(A^6=\left(\begin{array} {cc} -41 & -140 \\ 70 & 239 \end{array} \right)\).

Задача №2

Условие

Заданы матрицы \( A=\left(\begin{array} {cccc} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end{array} \right)\), \( B=\left(\begin{array} {ccc} -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end{array} \right)\), \( C=\left(\begin{array} {ccc} -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \end{array} \right)\). Найти матрицу \(D=2AB-3C^T+7E\).

Решение

Вычисление матрицы \(D\) начнем с нахождения результата произведения \(AB\). Матрицы \(A\) и \(B\) можно перемножать, так как количество столбцов матрицы \(A\) равно количеству строк матрицы \(B\). Обозначим \(F=AB\). При этом матрица \(F\) будет иметь три столбца и три строки, т.е. будет квадратной (если этот вывод кажется неочевидным, посмотрите описание умножения матриц в первой части этой темы). Найдем матрицу \(F\), вычислив все её элементы:

\[ F=A\cdot B=\left(\begin{array} {cccc} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {ccc} -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end{array} \right)\\ \begin{aligned} & f_{11}=1\cdot (-9)+0\cdot 2+(-1)\cdot 0+2\cdot 1=-7; \\ & f_{12}=1\cdot 1+0\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+2\cdot 5=13; \\ & f_{13}=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \\ & f_{21}=3\cdot (-9)+(-2)\cdot 2+5\cdot 0+0\cdot 1=-31;\\ & f_{22}=3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+5\cdot (-2)+0\cdot 5=-5;\\ & f_{23}=3\cdot 0+(-2)\cdot 4+5\cdot 3+0\cdot 0=7;\\ \\ & f_{31}=-1\cdot (-9)+4\cdot 2+(-3)\cdot 0+6\cdot 1=23; \\ & f_{32}=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\ & f_{33}=-1\cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7. \end{aligned} \]

Итак, \(F=\left(\begin{array} {ccc} -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end{array} \right)\). Пойдём далее. Матрица \(C^T\)транспонированная матрица для матрицы \(C\), т.е. \( C^T=\left(\begin{array} {ccc} -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end{array} \right) \). Что же касаемо матрицы \(E\), то это есть единичная матрица. В данном случае порядок этой матрицы равен трём, т.е. \(E=\left(\begin{array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\).

В принципе, мы и дальше можем идти пошагово, но оставшееся выражение лучше рассматривать целиком, не отвлекаясь на вспомогательные действия. По сути, нам остались лишь операции умножения матриц на число, а также операции сложения и вычитания.

\[ D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \left(\begin{array} {ccc} -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end{array} \right)-3\cdot \left(\begin{array} {ccc} -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end{array} \right)+7\cdot \left(\begin{array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

Умножим матрицы в правой части равенства на соответствующие числа (т.е. на 2, 3 и 7):

\[ 2\cdot \left(\begin{array} {ccc} -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end{array} \right)-3\cdot \left(\begin{array} {ccc} -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end{array} \right)+7\cdot \left(\begin{array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)=\\= \left(\begin{array} {ccc} -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end{array} \right)-\left(\begin{array} {ccc} -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end{array} \right)+\left(\begin{array} {ccc} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{array} \right) \]

Выполним последние действия: вычитание и сложение:

\[ \left(\begin{array} {ccc} -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end{array} \right)-\left(\begin{array} {ccc} -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end{array} \right)+\left(\begin{array} {ccc} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{array} \right)=\\ =\left(\begin{array} {ccc} -14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \\ -62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \\ 46-39+0 & 62-27+0 & 14-24+7 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end{array} \right). \]

Задача решена, \(D=\left(\begin{array} {ccc} 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end{array} \right)\).

Ответ:

\(D=\left(\begin{array} {ccc} 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end{array} \right)\).

Задача №3

Условие

Пусть \(f(x)=2x^2+3x-9\) и матрица \( A=\left(\begin{array} {cc} -3 & 1 \\ 5 & 0 \end{array} \right) \). Найти значение \(f(A)\).

Решение

Если \(f(x)=2x^2+3x-9\), то под \(f(A)\) понимают матрицу:

\[ f(A)=2A^2+3A-9E. \]

Именно так определяется многочлен от матрицы. Итак, нам нужно подставить матрицу \(A\) в выражение для \(f(A)\) и получить результат. Так как все действия были подробно разобраны ранее, то тут я просто приведу решение.

\[ f(A)=2A^2+3A-9E=2A\cdot A+3A-9E=2 \left(\begin{array} {cc} -3 & 1 \\ 5 & 0 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} -3 & 1 \\ 5 & 0 \end{array} \right)+3 \left(\begin{array} {cc} -3 & 1 \\ 5 & 0 \end{array} \right)-9\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)=\\ =2 \left(\begin{array} {cc} (-3)\cdot(-3)+1\cdot 5 & (-3)\cdot 1+1\cdot 0 \\ 5\cdot(-3)+0\cdot 5 & 5\cdot 1+0\cdot 0 \end{array} \right)+3 \left(\begin{array} {cc} -3 & 1 \\ 5 & 0 \end{array} \right)-9\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)=\\ =2 \left(\begin{array} {cc} 14 & -3 \\ -15 & 5 \end{array} \right)+3 \left(\begin{array} {cc} -3 & 1 \\ 5 & 0 \end{array} \right)-9\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) =\left(\begin{array} {cc} 28 & -6 \\ -30 & 10 \end{array} \right)+\left(\begin{array} {cc} -9 & 3 \\ 15 & 0 \end{array} \right)-\left(\begin{array} {cc} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{array} \right)=\left(\begin{array} {cc} 10 & -3 \\ -15 & 1 \end{array} \right). \]
Ответ:

\(f(A)=\left(\begin{array} {cc} 10 & -3 \\ -15 & 1 \end{array} \right)\).