Реклама
Первая часть Вторая часть

Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений. Первая часть.

Для чтения этой темы желательно, хоть и не обязательно, ознакомиться с темой "Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи", а также с темой "Базисные и свободные переменные. Общее и базисное решения системы линейных алгебраических уравнений".

Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Нулевое (тривиальное) решение.

Для начала стоит вспомнить, что такое однородные системы линейных алгебраических уравнений. В теме "Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи" вопрос классификации систем осуществлялся подробно, здесь же лишь вкратце напомню основные термины. Итак, система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется однородной, если все свободные члены этой системы равны нулю. Например, система $\left \{ \begin{aligned} & 2x_1-3x_2-x_3-x_4=0;\\ & -4x_1+5x_2+3x_4=0. \end{aligned} \right.$ является однородной, так как все свободные члены этой системы (т.е. числа, стоящие в правых частях равенств) – нули.

Любая однородная СЛАУ имеет хотя бы одно решение – нулевое (его ещё называют тривиальное), в котором все переменные равны нулю. Подставим, например, $x_1=0$, $x_2=0$, $x_3=0$ и $x_4=0$ в записанную выше систему. Получим два верных равенства:

$$ \left \{ \begin{aligned} & 2\cdot 0-3\cdot 0-0-0=0;\\ & -4\cdot 0+5\cdot 0+3\cdot 0=0. \end{aligned} \right. $$

Однако следствие из теоремы Кронекера-Капелли однозначно указывает на то, что если СЛАУ имеет решение, то есть только два варианта. Либо это решение единственно (и тогда СЛАУ называют определённой), либо этих решений бесконечно много (такую СЛАУ именуют неопределённой). Возникает первый вопрос: как выяснить, сколько решений имеет заданная нам однородная СЛАУ? Одно (нулевое) или бесконечность?

Та однородная СЛАУ, которая рассмотрена выше, имеет не только нулевое решение. Подставим, например, $x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=2$ и $x_4=3$:

$$ \left \{ \begin{aligned} & 2\cdot 1-3\cdot (-1)-2-3=0;\\ & -4\cdot 1+5\cdot (-1)+3\cdot 3=0. \end{aligned} \right. $$

Мы получили два верных равенства, поэтому $x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=2$, $x_4=3$ – тоже является решением данной СЛАУ. Отсюда, кстати, следует вывод: так как наша СЛАУ имеет более чем одно решение, то эта СЛАУ является неопределенной, т.е. она имеет бесконечное количество решений.

Кстати сказать, чтобы не писать каждый раз выражения вроде "$x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=2$, $x_4=3$", пишут все значения переменных в матрицу-столбец: $\left(\begin{array} {c} 1 \\ -1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$. Эту матрицу тоже называют решением СЛАУ.

Теорема Кронекера-Капелли гласит, что любая СЛАУ имеет решение (совместна) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы ($A$) равен рангу расширенной матрицы системы ($\widetilde{A}$), т.е. $\rang A=\rang\widetilde{A}$. Так как мы уже выяснили, что любая однородная СЛАУ имеет решение (хотя бы одно), то для всех однородных СЛАУ $\rang A=\rang\widetilde{A}$. Так как ранги равны между собой, то можно обозначить их какой-то одной буквой, например, $r$. Итак, для любой однородной СЛАУ имеем: $\rang A=\rang\widetilde{A}=r$.

Теперь можно вернуться к вопросу о количестве решений однородной СЛАУ. Согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли, если $r=n$ ($n$ – количество переменных), то СЛАУ имеет единственное решение. Если же $r < n$, то СЛАУ имеет бесконечное количество решений.

Случай $r=n$ не интересен. Для однородных СЛАУ он означает, что система имеет только нулевое решение. А вот случай $r < n$ представляет особый интерес.

Этот случай уже был рассмотрен в теме "Базисные и свободные переменные. Общее и базисное решения СЛАУ". По сути, однородные СЛАУ – это всего лишь частный случай системы линейных уравнений, поэтому вся терминология (базисные, свободные переменные и т.д.) остаётся в силе.

Что такое базисные и свободные переменные? показать\скрыть

Фундаментальная система решений однородной СЛАУ.

С однородными СЛАУ связано дополнительное понятие – фундаментальная система решений. Дело в том, что если ранг матрицы системы однородной СЛАУ равен $r$, то такая СЛАУ имеет $n-r$ линейно независимых решений: $\varphi_1$, $\varphi_2$,..., $\varphi_{n-r}$.

Любая совокупность $n-r$ линейно независимых решений однородной СЛАУ называется фундаментальной системой (или совокупностью) решений данной СЛАУ.

Часто вместо словосочетания "фундаментальная система решений" используют аббревиатуру "ФСР". Если решения $\varphi_1$, $\varphi_2$,..., $\varphi_{n-r}$ образуют ФСР, и $X$ – матрица переменных данной СЛАУ, то общее решение СЛАУ можно представить в таком виде:

$$ X=C_1\cdot \varphi_1+C_2\cdot \varphi_2+\ldots+C_{n-r}\cdot \varphi_{n-r}, $$

где $C_1$, $C_2$,..., $C_{n-r}$ – произвольные постоянные.

Что значит "линейно независимые решения"? показать\скрыть

Пример №1

Решить СЛАУ $ \left \{ \begin{aligned} & 3x_1-6x_2+9x_3+13x_4=0\\ & -x_1+2x_2+x_3+x_4=0;\\ & x_1-2x_2+2x_3+3x_4=0. \end{aligned} \right.$. Если система является неопределённой, указать фундаментальную систему решений.

Решение

Итак, мы имеем однородную СЛАУ, у которой 3 уравнения и 4 переменных: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$. Так как количество переменных больше количества уравнений, то такая однородная система не может иметь единственное решение (чуть позже мы строго докажем это предложение на основе теоремы Кронекера-Капелли). Найдём решения СЛАУ, используя метод Гаусса:

$$ \left( \begin{array} {cccc|c} 3 & -6 & 9 & 13 & 0 \\ -1 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 2 & 3 & 0 \end{array} \right) \rightarrow \left|\begin{aligned} & \text{поменяем местами первую и третью}\\ & \text{строки, чтобы первым элементом}\\ & \text{первой строки стала единица.} \end{aligned}\right| \rightarrow \\ \rightarrow\left( \begin{array} {cccc|c} 1 & -2 & 2 & 3 & 0\\ -1 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & -6 & 9 & 13 & 0 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ II+I\\ III-3\cdot I\end{array} \rightarrow \left( \begin{array} {cccc|c} 1 & -2 & 2 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 4 & 0 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ \phantom{0}\\ III-II\end{array} \rightarrow \\ \rightarrow\left( \begin{array} {cccc|c} 1 & -2 & 2 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right). $$

Мы завершили прямой ход метода Гаусса, приведя расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Слева от черты расположены элементы преобразованной матрицы системы, которую мы также привели к ступенчатому виду. Напомню, что если некая матрица приведена к ступенчатому виду, то её ранг равен количеству ненулевых строк.

Матрицы

И матрица системы, и расширенная матрица системы после эквивалентных преобразований приведены к ступенчатому виду; они содержат по две ненулевых строки. Вывод: $\rang A=\rang\widetilde{A} = 2$.

Итак, заданная СЛАУ содержит 4 переменных (обозначим их количество как $n$, т.е. $n=4$). Кроме того, ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны между собой и равны числу $r=2$. Так как $r < n$, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).

Найдём эти решения. Для начала выберем базисные переменные. Их количество должно равняться $r$, т.е. в нашем случае имеем две базисные переменные. Какие именно переменные (ведь у нас их 4 штуки) принять в качестве базисных? Обычно в качестве базисных переменных берут те переменные, которые расположены на первых местах в ненулевых строках преобразованной матрицы системы, т.е. на "ступеньках". Что это за "ступеньки" показано на рисунке:

Матрицы

На "ступеньках" стоят числа из столбцов №1 и №3. Первый столбец соответствует переменной $x_1$, а третий столбец соответствует переменной $x_3$. Именно переменные $x_1$ и $x_3$ примем в качестве базисных.

В принципе, если вас интересует именно методика решения таких систем, то можно пропускать нижеследующее примечание и читать далее. Если вы хотите выяснить, почему можно в качестве базисных взять именно эти переменные, и нельзя ли выбрать иные – прошу раскрыть примечание.

Примечание. показать\скрыть

Базисные переменные выбраны: это $x_1$ и $x_3$. Количество свободных переменных, как и количество решений в ФСР, равно $n-r=2$. Свободными переменными будут $x_2$ и $x_4$. Нам нужно выразить базисные переменные через свободные.

Я предпочитаю работать с системой в матричной форме записи. Для начала очистим полученную матрицу $\left( \begin{array} {cccc|c} 1 & -2 & 2 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$ от нулевой строки:

$$ \left( \begin{array} {cccc|c} 1 & -2 & 2 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 4 & 0 \end{array}\right) $$

Свободным переменным, т.е. $x_2$ и $x_4$, соответствуют столбцы №2 и №4. Перенесём эти столбцы за черту. Знак всех элементов переносимых столбцов изменится на противоположный:

Матрицы

Почему меняются знаки? Что вообще значит это перенесение столбцов? показать\скрыть

А теперь продолжим решение обычным методом Гаусса. Наша цель: сделать матрицу до черты единичной. Для начала разделим вторую строку на 3, а потом продолжим преобразования обратного хода метода Гаусса:

$$ \left( \begin{array} {cc|cc} 1 & 2 & 2 & -3\\ 0 & 3 & 0 & -4 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ II:3 \end{array} \rightarrow \left( \begin{array} {cc|cc} 1 & 2 & 2 & -3\\ 0 & 1 & 0 & -4/3 \end{array}\right) \begin{array} {l} I-2\cdot II \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow \\ \rightarrow \left(\begin{array} {cc|cc} 1 & 0 & 2 & -1/3\\ 0 & 1 & 0 & -4/3 \end{array}\right). $$

Матрица до черты стала единичной, метод Гаусса завершён. Общее решение найдено, осталось лишь записать его. Вспоминая, что четвёртый столбец соответствует переменной $x_2$, а пятый столбец – переменной $x_4$, получим:

$$ \left\{\begin{aligned} & x_1=2x_2-\frac{1}{3}x_4;\\ & x_2\in R;\\ & x_3=-\frac{4}{3}x_4;\\ & x_4 \in R. \end{aligned}\right. $$

Нами найдено общее решение заданной однородной СЛАУ. Если есть желание, то полученное решение можно проверить. Например, подставляя $x_1=2x_2-\frac{1}{3}x_4$ и $x_3=-\frac{4}{3}x_4$ в левую часть первого уравнения, получим:

$$ 3x_1-6x_2+9x_3+13x_4=3\cdot \left(2x_2-\frac{1}{3}x_4\right)-6x_2+9\cdot \left(-\frac{4}{3}x_4\right)+13x_4=0. $$

Проверка первого уравнения увенчалась успехом; точно так же можно проверить второе и третье уравнения.

Теперь найдем фундаментальную систему решений. ФСР будет содержать $n-r=2$ решения. Для нахождения ФСР составим таблицу. В первой строке таблицы будут перечислены переменные: сначала базисные $x_1$, $x_3$, а затем свободные $x_2$ и $x_4$. Всего в таблице будут три строки. Так как у нас 2 свободные переменные, то под свободными переменными запишем единичную матрицу второго порядка, т.е. $\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right)$. Таблица будет выглядеть так:

Матрицы

Теперь будем заполнять свободные ячейки. Начнём со второй строки. Мы знаем, что $x_1=2x_2-\frac{1}{3}x_4$ и $x_3=-\frac{4}{3}x_4$. Если $x_2=1$, $x_4=0$, то:

\begin{aligned} & x_1=2\cdot 1-\frac{1}{3}\cdot 0=2;\\ & x_3=-\frac{4}{3}\cdot 0=0. \end{aligned}

Найденные значения $x_1=2$ и $x_3=0$ запишем в соответствующие пустые ячейки второй строки:

Матрицы

Заполним и третью строку. Если $x_2=0$, $x_4=1$, то:

\begin{aligned} & x_1=2\cdot 0-\frac{1}{3}\cdot 1=-\frac{1}{3};\\ & x_3=-\frac{4}{3}\cdot 1=-\frac{4}{3}. \end{aligned}

Найденные значения $x_1=-\frac{1}{3}$ и $x_3=-\frac{4}{3}$ запишем в соответствующие пустые ячейки третьей строки. Таким образом таблица будет заполнена полностью:

Матрицы

Из второй и третьей строки таблицы мы и запишем ФСР. Матрица неизвестных для нашей системы такова: $X=\left(\begin{array} {c} x_1 \\x_2 \\x_3 \\x_4 \end{array}\right)$. В том же порядке, в котором в матрице $X$ перечислены переменные, записываем значения переменных из таблицы в две матрицы:

$$ \varphi_1=\left(\begin{array} {c} 2 \\1 \\0 \\0 \end{array}\right);\; \varphi_2=\left(\begin{array} {c} -1/3 \\0 \\ -4/3 \\1 \end{array}\right). $$

Совокупность $\varphi_1=\left(\begin{array} {c} 2 \\1 \\0 \\0 \end{array}\right)$, $\varphi_2=\left(\begin{array} {c} -1/3 \\0 \\ -4/3 \\1 \end{array}\right)$ и есть ФСР данной системы. Общее решение можно записать теперь так: $X=C_1\cdot \varphi_1+C_2\cdot \varphi_2$. Или в развёрнутом виде:

$$ X=C_1\cdot\left(\begin{array} {c} 2 \\1 \\0 \\0 \end{array}\right)+C_2\cdot\left(\begin{array} {c} -1/3 \\0 \\ -4/3 \\1 \end{array}\right), $$

где $C_1$ и $C_2$ – произвольные постоянные.

Ответ: Общее решение: $\left\{\begin{aligned} & x_1=2x_2-\frac{1}{3}x_4;\\ & x_2\in R;\\ & x_3=-\frac{4}{3}x_4;\\ & x_4 \in R. \end{aligned}\right.$. Или так: $X=C_1\cdot\left(\begin{array} {c} 2 \\1 \\0 \\0 \end{array}\right)+C_2\cdot\left(\begin{array} {c} -1/3 \\0 \\ -4/3 \\1 \end{array}\right)$, где $C_1$ и $C_2$ – произвольные константы. Фундаментальная система решений: $\varphi_1=\left(\begin{array} {c} 2 \\1 \\0 \\0 \end{array}\right)$, $\varphi_2=\left(\begin{array} {c} -1/3 \\0 \\ -4/3 \\1 \end{array}\right)$.

Пример №2

Записать ФСР однородной СЛАУ $\left\{\begin{aligned} & x_1-5x_2-x_3-2x_4+3x_5=0;\\ & 2x_1-6x_2+x_3-4x_4-2x_5=0; \\ & -x_1+4x_2+5x_3-3x_4=0. \end{aligned} \right.$, зная общее решение. Записать общее решение с помощью ФСР.

Решение

Общее решение уже было получено в теме "метод Крамера" (пример №4). Это решение таково:

$$\left\{\begin{aligned} & x_1=\frac{-17x_4+144x_5}{19};\\ & x_2=\frac{-15x_4+41x_5}{19};\\ & x_3=\frac{20x_4-4x_5}{19}; \\ & x_4\in R; \; x_5\in R. \end{aligned} \right.$$

Опираясь на предыдущий пример №1, попробуйте составить ФСР самостоятельно, а потом сверить с ответом.

Ранг матрицы системы $r=3$ (поэтому у нас три базисных переменных), количество переменных $n=5$. Количество свободных переменных и количество решений ФСР равно $n-r=2$.

Так же, как и в предыдущем примере, составим ФСР. При составлении учтём, что $x_1$, $x_2$, $x_3$ – базисные переменные, а $x_4$, $x_5$ – свободные переменные.

Таблица

Совокупность $\varphi_1=\left(\begin{array} {c} -17/19 \\-15/19 \\20/19 \\1\\0 \end{array}\right)$, $\varphi_2=\left(\begin{array}{c} 144/19 \\ 41/19 \\ -4/19\\0\\1 \end{array}\right)$ и есть ФСР данной системы. Общее решение можно записать теперь так: $X=C_1\cdot \varphi_1+C_2\cdot \varphi_2$. Или в развёрнутом виде:

$$ X=C_1\cdot\left(\begin{array} {c} -17/19 \\-15/19 \\20/19 \\1\\0 \end{array}\right)+C_2\cdot\left(\begin{array}{c} 144/19 \\ 41/19 \\ -4/19\\0\\1 \end{array}\right), $$

где $C_1$ и $C_2$ – произвольные постоянные.

Ответ: Фундаментальная система решений: $\varphi_1=\left(\begin{array} {c} -17/19 \\-15/19 \\20/19 \\1\\0 \end{array}\right)$, $\varphi_2=\left(\begin{array}{c} 144/19 \\ 41/19 \\ -4/19\\0\\1 \end{array}\right)$. Общее решение: $X=C_1\cdot\left(\begin{array} {c} -17/19 \\-15/19 \\20/19 \\1\\0 \end{array}\right)+C_2\cdot\left(\begin{array}{c} 144/19 \\ 41/19 \\ -4/19\\0\\1 \end{array}\right)$, где $C_1$ и $C_2$ – произвольные константы.

Продолжение этой темы рассмотрим во второй части, где разберём ещё один пример с нахождением общего решения и ФСР.

Вернуться к списку тем Задать вопрос на форуме Мой аккаунт ВКонтакте Записаться на курс онлайн-занятий