Найти предел,помогите.

Первый и второй замечательный пределы. Вычисление пределов как с использованием правила Лопиталя, так и без оного. Исследование функций на непрерывность.
Георгий
Сообщения: 1
Зарегистрирован: 14 апр 2017, 10:36

Найти предел,помогите.

Сообщение Георгий » 14 апр 2017, 10:58

$\lim_{x\rightarrow 0}(1-e^{2x})ctg(x)=$

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1353
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти предел,помогите.

Сообщение Добрый Волк » 14 апр 2017, 15:40

Тут несколько путей решения. Путь первый, и, пожалуй, самый быстрый - эквивалентности:
$\lim_{x\to{0}}\left(1-e^{2x}\right)\ctg{x}
=-\lim_{x\to{0}}\frac{e^{2x}-1}{\tg{x}}

$
Далее вспоминаем, что $\tg{x}\sim{x}$ и $e^{2x}-1\sim{2x}$, и предел решается в одну строчку :)

Второй путь - правило Лопиталя:
$\lim_{x\to{0}}\left(1-e^{2x}\right)\ctg{x}
=\lim_{x\to{0}}\frac{1-e^{2x}}{\tg{x}}
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(1-e^{2x}\right)'}{\left(\tg{x}\right)'}=\ldots
$
Третий путь - использовать следствия из первого и второго замечательных пределов:
$\lim_{x\to{0}}\left(1-e^{2x}\right)\ctg{x}
=-\lim_{x\to{0}}\frac{e^{2x}-1}{\tg{x}}
=-2\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{e^{2x}-1}{2x}}{\frac{\tg{x}}{x}}=\ldots
$
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Ответить