Исследовать функцию на непрерывность

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
Виктория24
Сообщения: 81
Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56

Исследовать функцию на непрерывность

Сообщение Виктория24 »

y= система 2*x x меньше 0
x^2+1 x больше 0 и меньше или равно 1
2 x больше 1
необходимо определить точки разрыва и определить род
построила график и у меня получилась сначала x=0 точка разрыва и тогда чтобы определить род будет предел при x стремится к 0 какой функции? 2*x?
Последний раз редактировалось Виктория24 23 апр 2014, 08:54, всего редактировалось 1 раз.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать функцию на непрерывность

Сообщение Алексей »

У вас условие несколько недоопределено. На каких именно отрезках функция равна \(2x\), \(x^2+1\) и 2? Т.е., при каких значениях х?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать функцию на непрерывность

Сообщение Алексей »

Ок, т.е. условие выходит таким:

\(y=\left\{ \begin{aligned} & 2x;\;\; x\leqslant 0\\ & x^2+1;\;\; 0<x\leqslant 1\\ & 2; \;\; x>1. \end{aligned} \right.\)

Я включил ноль в первый интервал, потому что у вас он вообще выпадал из области определения функции., - возможно, опечатка. Итак, в самом начале стоит сделать замечание, что функции \(2x\), \(x^2+1\), 2 - непрерывны при всех \(x\in R\), поэтому разрыв возможен лишь с точках "стыка" - т.е. \(x=0\) и \(x=1\).

Начнём с точки \(x=0\). Грубо говоря, функция будет непрерывна, если при подходе слева и справа к данной точке мы получим одинаковые значения. При этом данные значения должны совпадать с значением функции в точке. Так как значение \(x=0\) принадлежит первому отрезку, то \(y(0)=2\cdot 0=0\). Теперь найдем левосторонний предел. "Левосторонний" означает, что мы подходим к нулю, оставаясь при этом меньше нуля, т.е. слева по числовой оси. Например, подходим так: -1,25; -1; -0,5898; -0,078995; -0,00897; -0,000000009 и так далее. Все ближе и ближе к нулю, но меньше его. Нам нужно найти \(\lim_{x\to 0-0} y(x)\). Запись \(x\to 0-0\) не означает вычитания :) Просто обозначение того, что \(x\to 0\) и \(x<0\). Иногда, кстати,так и пишут: \(\lim_{\begin{aligned}&x\to 0 \\ &x<0\end{aligned}} y(x)\). Так как \(x<0\), то вместо \(y(x)\) мы подставим \(2x\):

\(\lim_{x\to 0-0} y(x)=\lim_{x\to 0-0} 2x=0\)

Аналогично находится и правосторонний предел:

\(\lim_{x\to 0+0} y(x)=\lim_{x\to 0+0} \left(x^2+1 \right)=1\)

Так как односторонние пределы существуют, конечны, но не равны между собой, то мы имеем дело с разрывом первого рода. Итак, \(x=0\) - точка разрыва первого рода со скачком \(\delta=|1-0|=1\).

Точно так же исследуется и вторая точка.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
cassiopeia
Сообщения: 2
Зарегистрирован: 21 окт 2014, 09:15

Re: Исследовать функцию на непрерывность

Сообщение cassiopeia »

Безымянный.jpg
Безымянный.jpg (8.07 КБ) 10982 просмотра
Добрый день, подскажите, пожалуйста, что можно с таким вот зверем сделать?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать функцию на непрерывность

Сообщение Алексей »

Добрый день! Потребуется найти односторонние пределы и выяснить, при каких значениях параметров они равны. А вообще, для своих задач крайне желательно создавать отдельные темы ;)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить