Предел номер 4 и номер 6:))))

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
Анна
Сообщения: 35
Зарегистрирован: 05 окт 2014, 20:33

Предел номер 4 и номер 6:))))

Сообщение Анна »

lim sin^2 3*x*ctg^2 5*x при х стремящ. к нулю
lim(ln(1-sin^2 5*x)/cos5*x-1) при х стремящ. к нулю
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Предел номер 4 и номер 6:))))

Сообщение Алексей »

Приветствую на форуме :) Давайте начнём с предела №4. У вас была тема "эквивалентные бесконечно малые" или ещё нет?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Анна
Сообщения: 35
Зарегистрирован: 05 окт 2014, 20:33

Re: Предел номер 4 и номер 6:))))

Сообщение Анна »

Такая тема уже была
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Предел номер 4 и номер 6:))))

Сообщение Алексей »

Отлично. Тогда рассудим так: если в некоем стандартном пределе есть тригонометрия, то лучше свести всё к синусу (или тангенсу). Так как \(\ctg{5x}=\frac{\cos 5x}{\sin 5x}\), то \(\ctg^2 5x=\frac{\cos^2 5x}{\sin^2 5x}\). И предел станет таким:

\(\lim_{x\to 0}\sin^2 3x\cdot \ctg^2 5x=\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2 3x\cdot\cos^2 5x}{\sin^2 5x}\)

Самый первый шаг: это попробовать просто подставить в данный предел \(x=0\). Однако если мы попробуем это сделать, то сразу получим неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Станем применять эквивалентности. Если \(\alpha\to 0\), то \(\sin\alpha\sim\alpha\). Так как при \(x\to 0\) имеем \(3x\to 0\), то \(\sin 3x\sim 3x\). Иными словами, в числителе вместо синуса можно написать просто \(3x\). Что скажете насчёт знаменателя?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Анна
Сообщения: 35
Зарегистрирован: 05 окт 2014, 20:33

Re: Предел номер 4 и номер 6:))))

Сообщение Анна »

Аналогичное рассуждение, синус 5х эквивалентно 5х. что делать с косинусом в числителе?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Предел номер 4 и номер 6:))))

Сообщение Алексей »

А про косинус вообще забудьте :) Дело в том, что \(\cos 0=1\). Этот косинус без изменений будет тащиться до конца решения, а конце мы вместо него подставим единицу. Однако вы совершенно верно написали про \(\sin 5x\). Теперь можете смело заменять синусы эквивалентными им функциями.
Если формулы оформлять с помощью latex вам тяжело, то можно просто прикрепить картинку или записать в текстовом виде.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Анна
Сообщения: 35
Зарегистрирован: 05 окт 2014, 20:33

Re: Предел номер 4 и номер 6:))))

Сообщение Анна »

В итоге получим 3/5?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Предел номер 4 и номер 6:))))

Сообщение Алексей »

Почти :) Вы делаете самую распространённую ошибку :) Дело в том, что синус мы заменяем на \(3x\), - но ведь квадрат-то никуда не девается, т.е. \(\sin^2 3x\sim (3x)^2=9x^2\). Это же касается и знаменателя.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Анна
Сообщения: 35
Зарегистрирован: 05 окт 2014, 20:33

Re: Предел номер 4 и номер 6:))))

Сообщение Анна »

Спасибо большое вам, и гениальнейшему человеку, создавшему этот сайт :oops:
Анна
Сообщения: 35
Зарегистрирован: 05 окт 2014, 20:33

Re: Предел номер 4 и номер 6:))))

Сообщение Анна »

Все стало понятно!!!
Ответить