Предел номер 4 и номер 6:))))

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Предел номер 4 и номер 6:))))

Сообщение Алексей »

Анна писал(а):Спасибо большое вам, и гениальнейшему человеку, создавшему этот сайт :oops:
Принимаю благодарности в одном лице :D Хотя движок форума создавал не я :) А вообще - всегда пожалуйста. Переходим ко второму пределу?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Анна
Сообщения: 35
Зарегистрирован: 05 окт 2014, 20:33

Re: Предел номер 4 и номер 6:))))

Сообщение Анна »

Да, я готова
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Предел номер 4 и номер 6:))))

Сообщение Алексей »

Итак, нужно рассмотреть предел \(\lim_{x\to 0}\frac{\ln\left(1-\sin^2 5x\right)}{\cos 5x -1}\). Вновь, если мы попытаемся подставить \(x=0\), получим неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Однако для выражений, которые расположены в числителе и знаменателе, есть свои эквивалентности. В конце этого документа есть таблица. Из неё я возьму две эквивалентности. Они верны при \(x\to 0\):

\(\ln(1+x)\sim x,\; 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}\)

Так как \(\sin^2 5x\to 0\), то в числителе нашего предела имеем \(\ln\left(1-\sin^2 5x\right)=\ln\left(1+\left(-\sin^2 5x\right)\right)\sim\)? В знаменателе так как \(5x\to 0\) имеем \(\cos 5x-1=-\left(1-\cos 5x\right)\sim\)?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Анна
Сообщения: 35
Зарегистрирован: 05 окт 2014, 20:33

Re: Предел номер 4 и номер 6:))))

Сообщение Анна »

Предположу, что
числитель: эквивалентно -5х
знаменатель: эквивалентно -25х^2 /2
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Предел номер 4 и номер 6:))))

Сообщение Алексей »

Знаменатель: вопросов нет. Действительно, \(\cos 5x-1\sim -\frac{25 x^2}{2}\).

А вот в числителе: \(\ln\left(1-\sin^25x\right)\sim -\sin^25x\sim -\left(5x\right)^2=-25x^2\). Кажется, в числителе вы позабыли про квадрат :) А дальше останется лишь сократить и записать ответ.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Анна
Сообщения: 35
Зарегистрирован: 05 окт 2014, 20:33

Re: Предел номер 4 и номер 6:))))

Сообщение Анна »

Благодарю!!!
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Предел номер 4 и номер 6:))))

Сообщение Алексей »

Обращайтесь, если что :) Кстати, ответ во втором примере равен 2.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить