Вычислить предел

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
lecture
Сообщения: 29
Зарегистрирован: 03 окт 2014, 15:30

Вычислить предел

Сообщение lecture »

Задание: нужно вычислить предел:
lim где (x ---0)= (ctgx)^sinx

Есть единственный онлайн решебник, но я не уверена в правильности.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычислить предел

Сообщение Алексей »

Ох уж эти онлайн-решебники :) Давайте рассудим просто: есть предел \(\lim_{x\to 0}(\ctg{x})^{\sin x}\). Если \(x\to 0\), то \(\ctg{x}\to\infty\), а \(\sin x\to 0\). Иными словами, мы имеем неопределённость вида \(\infty^0\). Кстати, здесь желательно бы уточнить условие, так как \(x\) должен стремиться к нулю справа, т.е. подходить к нулю, оставаясь при этом больше него. Это должно бы быть записано так: \(\lim_{x\to 0+0}(\ctg{x})^{\sin x}\). Однако обычно авторы контрольных работ на такие "мелочи" внимания не обращают.

Будем применять правило Лопиталя. Для начала отмечу наличие формулы \(a^b=e^{b\ln a}\). Т.е. в нашем случае \((\ctg{x})^{\sin x}=e^{\sin x\ln\ctg{x}}\). Иными словами,

\(\lim_{x\to 0}(\ctg{x})^{\sin x}=\lim_{x\to 0}e^{\sin x\ln\ctg{x}}=e^{\lim_{x\to 0}\left(\sin x\ln\ctg{x}\right)}\)

Отдельно рассмотрим предел \(\lim_{x\to 0}\left(\sin x\ln\ctg{x}\right)\). Тут мы имеем дело с неопределенностью вида \(0\cdot\infty\). Правило Лопиталя работает с неопределенностью вида \(\frac{0}{0}\) или \(\frac{\infty}{\infty}\). Чтобы получить такую неопределенность, опустим \(\sin x\) в знаменатель:

\(\lim_{x\to 0}\left(\sin x\ln\ctg{x}\right)=\lim_{x\to 0}\frac{\ln\ctg{x}}{\frac{1}{\sin x}}\)

Получили неопределенность вида \(\frac{\infty}{\infty}\), т.е. можем применять правило Лопиталя, - заменять отношение функций отношением производных:


\(\lim_{x\to 0}\frac{\ln\ctg{x}}{\frac{1}{\sin x}}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right|=\lim_{x\to 0}\frac{(\ln\ctg{x})'}{\left(\frac{1}{\sin x}\right)'}=\ldots\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
lecture
Сообщения: 29
Зарегистрирован: 03 окт 2014, 15:30

Re: Вычислить предел

Сообщение lecture »

Ух... здорово!

Я так и поняла, что решебник мне "нарешал" чего-то не то.
Теперь ясно.
Буду вычислять....
lecture
Сообщения: 29
Зарегистрирован: 03 окт 2014, 15:30

Re: Вычислить предел

Сообщение lecture »

У меня получился ответ:

\(lim(x\rightarrow 0)\frac{\frac{1}{(1+x^2)atg(x))}}{\frac{-cos(x))}{sin(x))}}\)=
∞/(-∞)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычислить предел

Сообщение Алексей »

Кажется, вы малость перестарались с производной :)

\((\ln\ctg{x})'=\frac{1}{\ctg{x}}\cdot (\ctg{x})'=\frac{1}{\ctg{x}}\cdot \left(-\frac{1}{\sin^2x}\right)\)

Так как \(\frac{1}{\ctg{x}}=\frac{\sin x}{\cos x}\), то указанное выше выражение можно малость упростить:

\(\frac{1}{\ctg{x}}\cdot \left(-\frac{1}{\sin^2x}\right)=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot \left(-\frac{1}{\sin^2x}\right)=-\frac{1}{\sin x\cdot\cos x}.\)

Что же касаемо производной в знаменателе, то тут используется формула \(\left(\frac{1}{u}\right)'=-\frac{1}{u^2}\cdot u'\):

\(\left(\frac{1}{\sin x}\right)'=-\frac{1}{\sin^2x}\cdot(\sin x)'=-\frac{1}{\sin^2x}\cdot \cos x=-\frac{\cos x}{\sin^2x}\).

А дальше уже можно сокращать дробь под пределом. Если хотите подробнее почитать про производные, то можно глянуть эту страницу.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
lecture
Сообщения: 29
Зарегистрирован: 03 окт 2014, 15:30

Re: Вычислить предел

Сообщение lecture »

Это мне не решить. Помогите с решением.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычислить предел

Сообщение Алексей »

А тут практически всего-ничего осталось :) Подставляем найденные производные в предел:

\(\lim_{x\to 0}\frac{\ln\ctg{x}}{\frac{1}{\sin x}}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right|=\lim_{x\to 0}\frac{(\ln\ctg{x})'}{\left(\frac{1}{\sin x}\right)'}=
\lim_{x\to 0}\frac{-\frac{1}{\sin x\cdot\cos x}}{-\frac{\cos x}{\sin^2x}}\)

Всё сокращаем и остаётся у нас простой синус:

\(\lim_{x\to 0}\frac{-\frac{1}{\sin x\cdot\cos x}}{-\frac{\cos x}{\sin^2x}}=\lim_{x\to 0}\sin x=\sin 0=0.\)

Иными словами, мы выяснили, что \(\lim_{x\to 0}\left(\sin x\ln\ctg{x}\right)=0\). Теперь вернёмся к исходному пределу:

\(\lim_{x\to 0}(\ctg{x})^{\sin x}=e^{\lim_{x\to 0}\left(\sin x\ln\ctg{x}\right)}=e^0=1.\)

В принципе, это и есть ответ :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
lecture
Сообщения: 29
Зарегистрирован: 03 окт 2014, 15:30

Re: Вычислить предел

Сообщение lecture »

Спасибо, что подробно. Интересный предел.
Ответить