Доказательство предела

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
Аватара пользователя
Дарья
Сообщения: 14
Зарегистрирован: 24 окт 2014, 14:45

Доказательство предела

Сообщение Дарья »

Добрый день!! Пожалуйста, очень прошу помочь разобраться с задачей на доказательство предела..
Во вложении условие и решение того, что я сделала..
Я не могу понять как прийти к ответу..откуда 121.. (ответ известен).
Вложения
моё решение
моё решение
DSC_0620.JPG (205.45 КБ) 12044 просмотра
Условие задачи
Условие задачи
Снимок.JPG (45.83 КБ) 12044 просмотра
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Доказательство предела

Сообщение Алексей »

Добрый день! Приветствую на форуме :) С вашей задачей непременно разберемся, - приблизительно часиков через 3, когда я немного освобожусь.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Дарья
Сообщения: 14
Зарегистрирован: 24 окт 2014, 14:45

Re: Доказательство предела

Сообщение Дарья »

Добрый Волк писал(а):Добрый день! Приветствую на форуме :) С вашей задачей непременно разберемся, - приблизительно часиков через 3, когда я немного освобожусь.
Спасибо ;)
Хорошо,буду ждать)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Доказательство предела

Сообщение Алексей »

И кстати, пока не забыл: перепроверьте условие. То условие, что размещено на второй картинке, не соответствует тому решению, что размещено на первой картинке. Там вообще разные последовательности.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Дарья
Сообщения: 14
Зарегистрирован: 24 окт 2014, 14:45

Re: Доказательство предела

Сообщение Дарья »

Добрый Волк писал(а):И кстати, пока не забыл: перепроверьте условие. То условие, что размещено на второй картинке, не соответствует тому решению, что размещено на первой картинке. Там вообще разные последовательности.

Ой, извините, невнимательно задание прислала..
Вложения
Вот
Вот
Снимок.JPG (49.5 КБ) 12030 просмотров
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Доказательство предела

Сообщение Алексей »

Итак, я просмотрел ваше доказательство. Идея верна, но реализация не очень :) Нам нужно показать, что для любого \(\varepsilon>0\) существует номер N такой, что при всех \(n>N\) верно неравенство \(\left|x_n-\frac{10}{11} \right|<\varepsilon\). Вот к этому неравенству и обратимся. Сразу упростим разность \(x_n-\frac{10}{11}\):

\(x_n-\frac{10}{11}=\frac{10\cdot 4^n+7}{11\cdot 4^n+9}-\frac{10}{11}=\frac{-13}{11(11\cdot 4^n+9)}.\)

Далее, так как \(11\cdot 4^n+9>0\) при любом значении номера n, то выражение \(\frac{-13}{11(11\cdot 4^n+9)}\) при всех значениях номера n является отрицательным. Модуль сделает это выражение положительным, убрав знак "минус":

\(\left|x_n-\frac{10}{11} \right|=\left|\frac{-13}{11(11\cdot 4^n+9)} \right|=\frac{13}{11(11\cdot 4^n+9)}\)

Итак, неравенство \(\left|x_n-\frac{10}{11} \right|<\varepsilon\) теперь стало таким:

\(\frac{13}{11(11\cdot 4^n+9)} < \varepsilon\)

Если тут вопросов нету, то двинемся дальше :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Дарья
Сообщения: 14
Зарегистрирован: 24 окт 2014, 14:45

Re: Доказательство предела

Сообщение Дарья »

да, все ясно, дальше поехали :yes:
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Доказательство предела

Сообщение Алексей »

А дальше попробуйте сделать так, чтобы в левой части неравенства осталось лишь выражение \(4^n\), а все остальное - в правой части.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Дарья
Сообщения: 14
Зарегистрирован: 24 окт 2014, 14:45

Re: Доказательство предела

Сообщение Дарья »

Уже похоже на ответ..но почему 1/E ?
Вложения
м?
м?
PSX_20141024_201210.jpg (168.28 КБ) 12023 просмотра
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Доказательство предела

Сообщение Алексей »

Похоже, только знак иной у неравенства. Ну, и \(11\cdot 11=121\), т.е.

\(4^n>\frac{13}{121\varepsilon}-\frac{9}{11}\)

Правда, авторы ответы представили это выражение чуть в ином виде:

\(4^n>\frac{13}{121}\cdot\frac{1}{\varepsilon}-\frac{9}{11}\)


Мне же больше нравится, когда всё сведено в одну дробь. Вот так:

\(4^n>\frac{13-99\varepsilon}{121\varepsilon}\)

Вам какой вариант больше по душе? :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить