Доказательство предела

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
Аватара пользователя
Дарья
Сообщения: 14
Зарегистрирован: 24 окт 2014, 14:45

Re: Доказательство предела

Сообщение Дарья »

Где попроще)) Возьму второй вариант, ответ все равно тот же)
Спасибо большое,добрый человек! :dance: Помогли распутаться))
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Доказательство предела

Сообщение Алексей »

Пожалуйста :) Т.е. ваш выбор \(4^n>\frac{13}{121}\cdot\frac{1}{\varepsilon}-\frac{9}{11}\). Ок. Но нам отсюда нужно выразить n. Ваши предложения?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Дарья
Сообщения: 14
Зарегистрирован: 24 окт 2014, 14:45

Re: Доказательство предела

Сообщение Дарья »

Ну сделать log и засунуть всё это под него и получится нужный ответ) или рано еще ?
Вложения
Снимок.JPG
Снимок.JPG (19.98 КБ) 7047 просмотров
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Доказательство предела

Сообщение Алексей »

Есть один нюанс: а вдруг выражение, которое мы запихиваем под логарифм, отрицательное? Ведь такое может быть. Подставьте, например, \(\varepsilon=5\). Получим \(\frac{13}{121}\cdot\frac{1}{5}-\frac{9}{11}<0\). Т.е. логарифмировать такое нельзя. Тут нужно вспомнить, для чего, собственно, мы рассматриваем это неравенство и что такое n :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Доказательство предела

Сообщение Алексей »

Попробую сейчас чуть подробнее расписать про "подводные камни", которые есть в это неравенстве.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Дарья
Сообщения: 14
Зарегистрирован: 24 окт 2014, 14:45

Re: Доказательство предела

Сообщение Дарья »

Но E уже дано, и это 1/1000000
n-это степень, она равна 11,ну и выше..
а зачем меньше нуля, если надо меньше E :?:
немного тяжело с логикой)
Аватара пользователя
Дарья
Сообщения: 14
Зарегистрирован: 24 окт 2014, 14:45

Re: Доказательство предела

Сообщение Дарья »

хотя нет,не надо меньше E...ррр, туго соображается..
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Доказательство предела

Сообщение Алексей »

Дарья писал(а):Но E уже дано, и это 1/1000000
Это во втором пункте. В первом требуется доказать, что для любого \(\varepsilon > 0\) существует соответствующий номер \(N\). Т.е. мы не можем ограничиться каким-то одним значением \(\varepsilon\).

Итак, у нас есть неравенство \(4^n>\frac{13}{121}\cdot\frac{1}{\varepsilon}-\frac{9}{11}\). Очень большой соблазн написать так: \(n>\log_4\left(\frac{13}{121}\cdot\frac{1}{\varepsilon}-\frac{9}{11} \right)\), т.е. \(N=\left[ \log_4\left(\frac{13}{121}\cdot\frac{1}{\varepsilon}-\frac{9}{11} \right)\right]\).

Однако это будет неверным решением. Перво-наперво нужно выяснить, существуют ли такие значения \(\varepsilon>0\), при которых выражение \(\frac{13}{121}\cdot\frac{1}{\varepsilon}-\frac{9}{11}\leqslant0\). Это легко прояснить:

\(\frac{13}{121}\cdot\frac{1}{\varepsilon}-\frac{9}{11}\leqslant 0, \; \frac{13}{121}\cdot\frac{1}{\varepsilon}\leqslant\frac{9}{11},\; \varepsilon\geqslant\frac{13}{99}.\)

Итак, если \(\varepsilon\geqslant\frac{13}{99}\), то \(\frac{13}{121}\cdot\frac{1}{\varepsilon}-\frac{9}{11}\leqslant 0\). Однако что мы знаем про \(n\)? Это номер, т.е. он равен 1, 2, 3 и так далее. Иными словами, \(4^n\geqslant 4^1=4\). Т.е. если \(\frac{13}{121}\cdot\frac{1}{\varepsilon}-\frac{9}{11}\leqslant 0\), то \(4^n\) при любом значении n будет больше \(\frac{13}{121}\cdot\frac{1}{\varepsilon}-\frac{9}{11}\), так как любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа и нуля.

Иными словами, если \(\varepsilon\geqslant\frac{13}{99}\), то неравенство \(4^n>\frac{13}{121}\cdot\frac{1}{\varepsilon}-\frac{9}{11}\) будет выполнено при любом значении \(n\). Для определенности можно взять \(n=1\). Т.е. если \(\varepsilon\geqslant\frac{13}{99}\), то \(N=1\).

Примерно так... Если есть вопросы - давайте :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Дарья
Сообщения: 14
Зарегистрирован: 24 окт 2014, 14:45

Re: Доказательство предела

Сообщение Дарья »

Я вроде и понимаю, что написано..но до меня не доходит, что дальше с n делать, если при любом его значении оно будет больше того выражения
Я глупая(( наверно все так легко, у меня уже каша в голове от этих пределов..
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Доказательство предела

Сообщение Алексей »

Вы думаете, что я это определение с первого раза понял? :) Ничего подобного :) Сейчас обратимся вновь к этому неравенству.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить