Доказательство предела

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
Аватара пользователя
Дарья
Сообщения: 14
Зарегистрирован: 24 окт 2014, 14:45

Re: Доказательство предела

Сообщение Дарья »

Вы быстро отвечали, пока я пыталась вникнуть :D

Я не знаю, что можно еще делать, кроме логарифма(
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Доказательство предела

Сообщение Алексей »

Итак, мы выяснили, что если \(\varepsilon\geqslant\frac{13}{99}\), то \(N=1\). Что будет, если \(0<\varepsilon<\frac{13}{99}\), т.е. если \(\frac{13}{121}\cdot\frac{1}{\varepsilon}-\frac{9}{11}>0\)? Мы теперь имеем полное право логарифмировать и записать, что

\(n>\log_4\left(\frac{13}{121}\cdot\frac{1}{\varepsilon}-\frac{9}{11} \right)\)

Это неравенство верно. Однако записать, что \(N=\left[ \log_4\left(\frac{13}{121}\cdot\frac{1}{\varepsilon}-\frac{9}{11} \right)\right]\) мы опять не можем. Дело в том, что выражение \(\left[ \log_4\left(\frac{13}{121}\cdot\frac{1}{\varepsilon}-\frac{9}{11} \right)\right]\) может быть и отрицательным, а может и равняться нулю. Но номер N может начинаться лишь с единицы.

Итак, при каких значениях \(\varepsilon\) выражение \(\log_4\left(\frac{13}{121}\cdot\frac{1}{\varepsilon}-\frac{9}{11} \right)<1\)? Логарифм меньше единицы если \(\frac{13}{121}\cdot\frac{1}{\varepsilon}-\frac{9}{11}<4\). Т.е. если \(\varepsilon >\frac{13}{583}\).

Итак, если \(\varepsilon >\frac{13}{583}\), то \(\log_4\left(\frac{13}{121}\cdot\frac{1}{\varepsilon}-\frac{9}{11} \right)<1\). Следовательно, неравенство \(n>\log_4\left(\frac{13}{121}\cdot\frac{1}{\varepsilon}-\frac{9}{11} \right)\) будет выполнено при всех значениях \(n\). Почему так: слева стоит номер n, больший 1, справа стоит выражение \(\log_4\left(\frac{13}{121}\cdot\frac{1}{\varepsilon}-\frac{9}{11} \right)\), меньшее единицы. Поэтому, если \(\varepsilon >\frac{13}{583}\), то в качестве N можно принять 1.


Если же \(0<\varepsilon \leqslant\frac{13}{583}\), то \(\log_4\left(\frac{13}{121}\cdot\frac{1}{\varepsilon}-\frac{9}{11} \right)\geqslant1\), поэтому \(N=\left[ \log_4\left(\frac{13}{121}\cdot\frac{1}{\varepsilon}-\frac{9}{11} \right)\right]\).



Формулируем вывод:

Для любого \(\varepsilon >0\) существует такой номер \(N=\left\{\begin{aligned}&1, \;\; \varepsilon >\frac{13}{583};\\
& \left[ \log_4\left(\frac{13}{121}\cdot\frac{1}{\varepsilon}-\frac{9}{11} \right)\right], \;\; 0<\varepsilon \leqslant\frac{13}{583}.\end{aligned}\right.\)
такой, что при всех \(n>N\) верно неравенство \(\left| x_n-\frac{10}{11}\right|<\varepsilon\). Следовательно, \(\lim_{n\to\infty}x_n=\frac{10}{11}\).

Если вопросов нету, перейдем ко второму пункту :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Дарья
Сообщения: 14
Зарегистрирован: 24 окт 2014, 14:45

Re: Доказательство предела

Сообщение Дарья »

Кажется что-то проясняется..
Пока вопросов нет, во втором пункте будут, думаю)) Теперь нам надо данное значение E подставить в наше выражение?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Доказательство предела

Сообщение Алексей »

Во втором пункте нам надо подставить \(\varepsilon =\frac{1}{1000000}\) в соответствующее выражение. Т.е. мы выяснили, что \(N=\left\{\begin{aligned}&1, \;\; \varepsilon >\frac{13}{583};\\& \left[ \log_4\left(\frac{13}{121}\cdot\frac{1}{\varepsilon}-\frac{9}{11} \right)\right], \;\; 0<\varepsilon \leqslant\frac{13}{583}.\end{aligned}\right.\). Так как \(0<\frac{1}{1000000} \leqslant\frac{13}{583}\), то:

\(N=\left[ \log_4\left(\frac{13}{121}\cdot\frac{1}{1/1000000}-\frac{9}{11} \right)\right]\)

Вот и считайте :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Дарья
Сообщения: 14
Зарегистрирован: 24 окт 2014, 14:45

Re: Доказательство предела

Сообщение Дарья »

Вот и посчитаю :yes:

Всёёё,с этим покончено
Спасибо ОГРОМНОЕ еще раз за уделенное время! Пойду перечитаю, вникну)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Доказательство предела

Сообщение Алексей »

Пожалуйста :) Такие задания всегда сложны. Кстати, в ответе выходит \(N=8\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Дарья
Сообщения: 14
Зарегистрирован: 24 окт 2014, 14:45

Re: Доказательство предела

Сообщение Дарья »

Да) :claping:
Ответить