Пределы.

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
Irina
Сообщения: 5
Зарегистрирован: 23 ноя 2015, 16:00

Пределы.

Сообщение Irina »

Подскажите,пожалуйста, как правильно решать, хочу разобраться:)
lim((2x+3)/(2n+1))^(x+1),это все при x-бесконечности.
lim (tgx)^ctgx при x-pi/4
lim(sin x/sin a)^(1/x-a), при x-а.
lim (2x-1)^2/((e^sinpix)-e^-sin3pix), при x-1/2
Заранее спасибо!
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Пределы.

Сообщение Алексей »

Irina писал(а):lim((2x+3)/(2n+1))^(x+1),это все при x-бесконечности.
Насколько я понимаю, в условии у вас опечатка, т.е. в знаменателе стоит x, а не n. Так как \(\lim_{x\to\infty}\frac{2x+3}{2x+1}=1\) (это несложно доказать, разделив числитель и знаменатель на x) и \(\lim_{x\to\infty}(x+1)=\infty\), то имеем дело с неопределенностью вида \(1^\infty\). Такая неопределенность в данном случае раскрывается с помощью второго замечательного предела (гляньте пример №1 на странице по ссылке). Начало решения в вашем случае будет таким:

\(\lim_{x\to\infty}\left (\frac{2x+3}{2x+1}\right)^{x+1}=\lim_{x\to\infty}\left (1+\frac{2x+3}{2x+1}-1\right)^{x+1}=\ldots\)

Irina писал(а):lim (tgx)^ctgx при x-pi/4
В пределе \(\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\left(\mathrm{tg}x\right)^{\mathrm{ctg}x}\) вообще нету никакой неопределенности, т.е. можно банально подставить \(x=\frac{\pi}{4}\).
Irina писал(а):lim(sin x/sin a)^(1/x-a), при x-а
Та же неопределенность, что и в первом пределе. Для начала в пределе \(\lim_{x\to{a}}\left(\frac{\sin{x}}{\sin{a}}\right)^{\frac{1}{x-a}}\) стоит сделать замену \(t=x-a\), \(x=t+a\). При этом новая переменная \(t\to{0}\).
Irina писал(а):lim (2x-1)^2/((e^sinpix)-e^-sin3pix), при x-1/2
Тут я не совсем понял условие :) Можете оформить его с помощью latex или скинуть картинку?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить