Найти предел, используя правило Лопиталя
Lim(x>0) (cos3x)*1/x^2
Объясните пожалуйста, как я понял для этого правила должно быть 0/0, но здесь же оно не выполняется..
Найти предел
Re: Найти предел
Для этого правила не обязательно неопределённость обязана иметь вид \(\frac{0}{0}\). В вашем примере такой неопределённости действительно нет.
Так как \(\lim_{x\to{0}}\cos{3x}=\cos{0}=1\), то неопределенность \(\frac{0}{0}\) отсутствует. Полагаю, надо уточнить условие у преподавателя.
\(\lim_{x\to{0}}\left(\cos{3x}\cdot\frac{1}{x^2}\right)=\lim_{x\to{0}}\frac{\cos{3x}}{x^2}\)
Так как \(\lim_{x\to{0}}\cos{3x}=\cos{0}=1\), то неопределенность \(\frac{0}{0}\) отсутствует. Полагаю, надо уточнить условие у преподавателя.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Найти предел
Ой извините, действительно ошибка в условии. Просто задание в эл. виде и не очень понятно степень это или нет. В общем cos3x в ст. 1/x^2.hallof писал(а):Найти предел, используя правило Лопиталя
Lim(x>0) (cos3x)*1/x^2
Объясните пожалуйста, как я понял для этого правила должно быть 0/0, но здесь же оно не выполняется..
Но по моему и здесь не 0/0
Re: Найти предел
Да, действительно. Если условие имеет вид \(\lim_{x\to{0}}(\cos{3x})^{\frac{1}{x^2}}\), то здесь есть неопределенность вида \(1^\infty\). Преобразуется она с помощью формулы \(a^b=e^{b\ln{a}}\) следующим образом:
А далее находите с помощью правила Лопиталя \(\lim_{x\to{0}}\frac{\ln\cos{3x}}{x^2}\).
\(\lim_{x\to{0}}(\cos{3x})^{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to{0}}e^{\frac{1}{x^2}\cdot\ln\cos{3x}}=\lim_{x\to{0}}e^{\frac{\ln\cos{3x}}{x^2}}\)
А далее находите с помощью правила Лопиталя \(\lim_{x\to{0}}\frac{\ln\cos{3x}}{x^2}\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Найти предел
А куда число e делось, разве по этому правило не производную числа е в этой степени находим?Добрый Волк писал(а):Да, действительно. Если условие имеет вид \(\lim_{x\to{0}}(\cos{3x})^{\frac{1}{x^2}}\), то здесь есть неопределенность вида \(1^\infty\). Преобразуется она с помощью формулы \(a^b=e^{b\ln{a}}\) следующим образом:
\(\lim_{x\to{0}}(\cos{3x})^{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to{0}}e^{\frac{1}{x^2}\cdot\ln\cos{3x}}=\lim_{x\to{0}}e^{\frac{\ln\cos{3x}}{x^2}}\)
А далее находите с помощью правила Лопиталя \( \lim_{x\to{0}}\frac{\ln\cos{3x}}{x^2}\).
Re: Найти предел
И пожалуйста можете производную ln3x/x^2 расписать? А то у меня большие ппрблемы с такими сложными функциямиДобрый Волк писал(а):Да, действительно. Если условие имеет вид \(\lim_{x\to{0}}(\cos{3x})^{\frac{1}{x^2}}\), то здесь есть неопределенность вида \(1^\infty\). Преобразуется она с помощью формулы \(a^b=e^{b\ln{a}}\) следующим образом:
\( \lim_{x\to{0}}(\cos{3x})^{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to{0}}e^{\frac{1}{x^2}\cdot\ln\cos{3x}}=\lim_{x\to{0}}e^{\frac{\ln\cos{3x}}{x^2}}\)
А далее находите с помощью правила Лопиталя \(\lim_{x\to{0}}\frac{\ln\cos{3x}}{x^2}\).
Re: Найти предел
Точнее, lncos3x/x^2hallof писал(а):И пожалуйста можете производную ln3x/x^2 расписать? А то у меня большие ппрблемы с такими сложными функциямиДобрый Волк писал(а):Да, действительно. Если условие имеет вид \(\lim_{x\to{0}}(\cos{3x})^{\frac{1}{x^2}}\), то здесь есть неопределенность вида \(1^\infty\). Преобразуется она с помощью формулы \(a^b=e^{b\ln{a}}\) следующим образом:
\(\lim_{x\to{0}}(\cos{3x})^{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to{0}}e^{\frac{1}{x^2}\cdot\ln\cos{3x}}=\lim_{x\to{0}}e^{\frac{\ln\cos{3x}}{x^2}}\)
А далее находите с помощью правила Лопиталя \(\lim_{x\to{0}}\frac{\ln\cos{3x}}{x^2}\).
Re: Найти предел
Число \(e\) никуда не делось. Вы найдете предел \(\lim_{x\to{0}}\frac{\ln\cos{3x}}{x^2}\) и, допустим, он будет равен некоему числу \(k\). Тогда \(\lim_{x\to{0}}(\cos{3x})^{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to{0}}e^{\frac{\ln\cos{3x}}{x^2}}=e^k\).hallof писал(а):А куда число e делось, разве по этому правило не производную числа е в этой степени находим?
Читайте информацию по нахождению производных такого рода в этом параграфе. И, кстати, вам не нужна производная всей функции. Вам надо отдельно производная логарифма и косинуса.hallof писал(а):И пожалуйста можете производную ln3x/x^2 расписать? А то у меня большие ппрблемы с такими сложными функциями
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"