Найти предел

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
hallof

Найти предел

Сообщение hallof »

Найти предел, используя правило Лопиталя
Lim(x>0) (cos3x)*1/x^2
Объясните пожалуйста, как я понял для этого правила должно быть 0/0, но здесь же оно не выполняется..
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти предел

Сообщение Алексей »

Для этого правила не обязательно неопределённость обязана иметь вид \(\frac{0}{0}\). В вашем примере такой неопределённости действительно нет.

\(\lim_{x\to{0}}\left(\cos{3x}\cdot\frac{1}{x^2}\right)=\lim_{x\to{0}}\frac{\cos{3x}}{x^2}\)

Так как \(\lim_{x\to{0}}\cos{3x}=\cos{0}=1\), то неопределенность \(\frac{0}{0}\) отсутствует. Полагаю, надо уточнить условие у преподавателя.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
hallof

Re: Найти предел

Сообщение hallof »

hallof писал(а):Найти предел, используя правило Лопиталя
Lim(x>0) (cos3x)*1/x^2
Объясните пожалуйста, как я понял для этого правила должно быть 0/0, но здесь же оно не выполняется..
Ой извините, действительно ошибка в условии. Просто задание в эл. виде и не очень понятно степень это или нет. В общем cos3x в ст. 1/x^2.
Но по моему и здесь не 0/0
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти предел

Сообщение Алексей »

Да, действительно. Если условие имеет вид \(\lim_{x\to{0}}(\cos{3x})^{\frac{1}{x^2}}\), то здесь есть неопределенность вида \(1^\infty\). Преобразуется она с помощью формулы \(a^b=e^{b\ln{a}}\) следующим образом:

\(\lim_{x\to{0}}(\cos{3x})^{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to{0}}e^{\frac{1}{x^2}\cdot\ln\cos{3x}}=\lim_{x\to{0}}e^{\frac{\ln\cos{3x}}{x^2}}\)

А далее находите с помощью правила Лопиталя \(\lim_{x\to{0}}\frac{\ln\cos{3x}}{x^2}\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
hallof

Re: Найти предел

Сообщение hallof »

Добрый Волк писал(а):Да, действительно. Если условие имеет вид \(\lim_{x\to{0}}(\cos{3x})^{\frac{1}{x^2}}\), то здесь есть неопределенность вида \(1^\infty\). Преобразуется она с помощью формулы \(a^b=e^{b\ln{a}}\) следующим образом:

\(\lim_{x\to{0}}(\cos{3x})^{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to{0}}e^{\frac{1}{x^2}\cdot\ln\cos{3x}}=\lim_{x\to{0}}e^{\frac{\ln\cos{3x}}{x^2}}\)

А далее находите с помощью правила Лопиталя \( \lim_{x\to{0}}\frac{\ln\cos{3x}}{x^2}\).
А куда число e делось, разве по этому правило не производную числа е в этой степени находим?
hallof

Re: Найти предел

Сообщение hallof »

Добрый Волк писал(а):Да, действительно. Если условие имеет вид \(\lim_{x\to{0}}(\cos{3x})^{\frac{1}{x^2}}\), то здесь есть неопределенность вида \(1^\infty\). Преобразуется она с помощью формулы \(a^b=e^{b\ln{a}}\) следующим образом:

\( \lim_{x\to{0}}(\cos{3x})^{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to{0}}e^{\frac{1}{x^2}\cdot\ln\cos{3x}}=\lim_{x\to{0}}e^{\frac{\ln\cos{3x}}{x^2}}\)

А далее находите с помощью правила Лопиталя \(\lim_{x\to{0}}\frac{\ln\cos{3x}}{x^2}\).
И пожалуйста можете производную ln3x/x^2 расписать? А то у меня большие ппрблемы с такими сложными функциями :)
hallof

Re: Найти предел

Сообщение hallof »

hallof писал(а):
Добрый Волк писал(а):Да, действительно. Если условие имеет вид \(\lim_{x\to{0}}(\cos{3x})^{\frac{1}{x^2}}\), то здесь есть неопределенность вида \(1^\infty\). Преобразуется она с помощью формулы \(a^b=e^{b\ln{a}}\) следующим образом:

\(\lim_{x\to{0}}(\cos{3x})^{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to{0}}e^{\frac{1}{x^2}\cdot\ln\cos{3x}}=\lim_{x\to{0}}e^{\frac{\ln\cos{3x}}{x^2}}\)

А далее находите с помощью правила Лопиталя \(\lim_{x\to{0}}\frac{\ln\cos{3x}}{x^2}\).
И пожалуйста можете производную ln3x/x^2 расписать? А то у меня большие ппрблемы с такими сложными функциями :)
Точнее, lncos3x/x^2
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти предел

Сообщение Алексей »

hallof писал(а):А куда число e делось, разве по этому правило не производную числа е в этой степени находим?
Число \(e\) никуда не делось. Вы найдете предел \(\lim_{x\to{0}}\frac{\ln\cos{3x}}{x^2}\) и, допустим, он будет равен некоему числу \(k\). Тогда \(\lim_{x\to{0}}(\cos{3x})^{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to{0}}e^{\frac{\ln\cos{3x}}{x^2}}=e^k\).
hallof писал(а):И пожалуйста можете производную ln3x/x^2 расписать? А то у меня большие ппрблемы с такими сложными функциями :)
Читайте информацию по нахождению производных такого рода в этом параграфе. И, кстати, вам не нужна производная всей функции. Вам надо отдельно производная логарифма и косинуса.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить