Замечательный предел 2

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
Павел

Замечательный предел 2

Сообщение Павел »

Подскажите, как решить 11 под г, пожалуйста. Я пытаюсь, не выходит.
Изображение
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Замечательный предел 2

Сообщение Алексей »

Скорее всего, есть менее громоздкие пути, нежели тот, что я вам сейчас предложу, но на скорую руку сверстать получилось просто по стандартной схеме. Выражение в основании степени преобразуем так:

\(\frac{1+\sin{x}\cos{2x}}{1+\sin{x}\cos{3x}}=
1+\frac{1+\sin{x}\cos{2x}}{1+\sin{x}\cos{3x}}-1=\ldots=
1+\frac{2\sin{x}\sin\frac{5x}{2}\sin\frac{x}{2}}{1+\sin{x}\cos{3x}}\)

Полагаю, что многоточия вам удастся заполнить самостоятельно (заодно и проверите корректность результата). Формула разности косинусов, которую придется использовать, найдётся здесь: "Некоторые тригонометрические формулы".

Далее, подгоняя под вид второго замечательного предела, мы получим примерно следующее:

\(\lim_{x\to{0}}\left(1+\frac{2\sin{x}\sin\frac{5x}{2}\sin\frac{x}{2}}{1+\sin{x}\cos{3x}}\right)^{\frac{1+\sin{x}\cos{3x}}{2\sin{x}\sin\frac{5x}{2}\sin\frac{x}{2}}\cdot\frac{2\sin{x}\sin\frac{5x}{2}\sin\frac{x}{2}}{1+\sin{x}\cos{3x}}\cdot\ctg{x^3}}\)

Разумеется, интересен будет предел соответствующего выражения в степени, т.е.

\(\lim_{x\to{0}}\left(\frac{2\sin{x}\sin\frac{5x}{2}\sin\frac{x}{2}}{1+\sin{x}\cos{3x}}\cdot\ctg{x^3}\right)\)

Заменяя \(\ctg{x^3}=\frac{\cos{x^3}}{\sin{x^3}}\) и сделав парочку простых преобразований, мы придем к выражению такого вида:

\(k\cdot\frac{\sin{x}}{x}\cdot\frac{\sin\frac{5x}{2}}{\frac{5x}{2}}\cdot\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\cdot\frac{1}{\frac{\sin{x^3}}{x^3}}\frac{\cos{x^3}}{1+\sin{x}\cos{3x}}\)

Коэффициент \(k\), полагаю, вы найдете самостоятельно. Таким образом, используя первый замечательный предел, мы получим результат исходного предела в форме \(e^k\), где параметр \(k\) вы отыщете ранее.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить