Найти предел,помогите.

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
Георгий
Сообщения: 1
Зарегистрирован: 14 апр 2017, 10:36

Найти предел,помогите.

Сообщение Георгий »

\(\lim_{x\rightarrow 0}(1-e^{2x})ctg(x)=\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти предел,помогите.

Сообщение Алексей »

Тут несколько путей решения. Путь первый, и, пожалуй, самый быстрый - эквивалентности:

\(\lim_{x\to{0}}\left(1-e^{2x}\right)\ctg{x}
=-\lim_{x\to{0}}\frac{e^{2x}-1}{\tg{x}}

\)

Далее вспоминаем, что \(\tg{x}\sim{x}\) и \(e^{2x}-1\sim{2x}\), и предел решается в одну строчку :)

Второй путь - правило Лопиталя:

\(\lim_{x\to{0}}\left(1-e^{2x}\right)\ctg{x}
=\lim_{x\to{0}}\frac{1-e^{2x}}{\tg{x}}
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(1-e^{2x}\right)'}{\left(\tg{x}\right)'}=\ldots
\)

Третий путь - использовать следствия из первого и второго замечательных пределов:

\(\lim_{x\to{0}}\left(1-e^{2x}\right)\ctg{x}
=-\lim_{x\to{0}}\frac{e^{2x}-1}{\tg{x}}
=-2\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{e^{2x}-1}{2x}}{\frac{\tg{x}}{x}}=\ldots
\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить