дифференцируемость функции

Область определения, производные, исследование и построение графиков, определение наибольшего и наименьшего значений на отрезке, задачи на наибольшее и наименьшее значения. Уравнения касательной и нормали.
Ella
Сообщения: 2
Зарегистрирован: 30 янв 2017, 12:25

дифференцируемость функции

Сообщение Ella » 30 янв 2017, 13:45

Помогите с решением
Задание: исследовать на дифференцируемость функцию y = |П — х|* sin x
В ответе написано, что она дифференцируема всюду. У меня не сходится, в чем ошибка?
Решение:
Функция обращается в ноль в точках: х=0; Пk, k целое
Раскроем знак модуля:
[tex]y(x)=\begin{cases} & \text{(П-x)*sinx , } \\ & \text{-(П-x)*sinx } \end{cases}[/tex]
Исследуем функцию в точке х=0:
Находим левую производную:
[tex]\lim_{h\rightarrow -0}(y(x_{0}+h)-y(x_{0}))/h=\lim_{h\rightarrow -0}(-(П-0-h)*sin(0+h)-0)/h=\lim_{h\rightarrow -0}((-П+h)*sinh)/h=-П-0=-П;[/tex]
Теперь правую:
[tex]\lim_{h\rightarrow +0}((П-0-h)*sin(0+h)-0)/h=\lim_{h\rightarrow +0}((П-h)*sinh)/h=П+0=П;[/tex]
Следовательно, производной данной функции в точке х=0 не существует, а значит функция в ней не дифференцируема;
Далее, исследую в точках: х=Пk, k целое
Если k - нечетное, то односторонние производные равны 0; если k - четное, то у меня снова получается, что они не равны (правая производная =-П, а левая = П), значит тут тоже не существует производной. Что я делаю не так??

PS/ h-это приращение аргумента

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1353
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: дифференцируемость функции

Сообщение Добрый Волк » 30 янв 2017, 15:56

Добрый день! Я не совсем понял, зачем исследовать точки вида $x=\pi{k}$. Да, функция в них действительно обращается в ноль, но обращение функции в ноль в некоей точке вовсе не является существенным фактором для существования или не существования производной в этой же точке. Например, в точке $x=2$ функция $y=|x-2|$ равна нулю, однако $y'(2)$ не существует. В то же время при $x=2$ будет равна нулю функция $y=(x-2)^3$, однако значение $y'(2)$ для этой функции вполне определено.

Запишем заданную функцию $y=|\pi-x|\sin{x}$ на интервалах (при этом точку $x=\pi$ для наглядности выделим отдельно). Если $x>\pi$, то $\pi-x<0$, поэтому $|\pi-x|=-(\pi-x)$, а значит $y=-(\pi-x)\sin{x}$. Аналогично, при $x<\pi$ получим $y=(\pi-x)\sin{x}$. Таким образом, заданную функцию можно записать так:
$y=\left\{\begin{aligned} &(\pi-x)\sin{x}, x<\pi.\\& 0, x=\pi.\\&-(\pi-x)\sin{x}, x>\pi.\end{aligned}\right.$
Существование производной в точках интервалов $(-\infty; \pi)$ и $(\pi; -\infty)$ не вызывает сомнений. Сомнения вызывает лишь существование производной в точке $x=\pi$. Cудя по вашему сообщению, вы хотите доказать существование производной по определению - это несложно сделать в нашем случае. Найдем соответствующий предел слева:
$\lim_{\Delta{x}\to{0-0}}\frac{y(\pi+\Delta{x})-y(\pi)}{\Delta{x}}
=\lim_{\Delta{x}\to{0-0}}\frac{(\pi-(\pi+\Delta{x}))\sin(\pi+\Delta{x})-0}{\Delta{x}}
=\lim_{\Delta{x}\to{0-0}}(-\sin(\pi+\Delta{x}))=0.$
Итак, левосторонняя производная $y_{-}^{'}(\pi)=0$. Аналогично доказывается, что правосторонняя производная $y_{+}^{'}(\pi)=0$. Отсюда делаем вывод относительно существования $y'(\pi)$.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Ella
Сообщения: 2
Зарегистрирован: 30 янв 2017, 12:25

Re: дифференцируемость функции

Сообщение Ella » 30 янв 2017, 17:15

Огромное спасибо за объяснение!

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1353
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: дифференцируемость функции

Сообщение Добрый Волк » 30 янв 2017, 19:51

Пожалуйста :) Кстати, там вовсе не обязательно использовать определение производной. Можно найти производную слева и справа по обычным правилам дифференцирования, а потом проверить, совпадают ли пределы при [tex]x\to{\pi-0}[/tex] и [tex]x\to{\pi+0}[/tex].
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Ответить