производная и интеграл

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
Аватара пользователя
Вероника
Сообщения: 183
Зарегистрирован: 05 апр 2014, 11:24

Re: производная и интеграл

Сообщение Вероника »

\(y{}'(\frac{ln\left | x \right |}{1-x^{2}}-ln\left | x \right |+\frac{1}{2}ln(1+x^{2})){}'=(\frac{ln\left | x \right |}{1-x^{2}}){}'-(ln\left | x \right |+\frac{1}{2}ln(1+x^{2})){}'\)
правильно?)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: производная и интеграл

Сообщение Алексей »

Почти :) У вас же три слагаемых, - а скобок в правой части отчего-то две :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Вероника
Сообщения: 183
Зарегистрирован: 05 апр 2014, 11:24

Re: производная и интеграл

Сообщение Вероника »

А точно же :)
\(y{}'=(\frac{ln\left | x \right |}{1-x^{2}}-ln\left | x \right |+\frac{1}{2}ln(1+x^{2})){}'=(\frac{ln\left | x \right |}{1-x^{2}}){}'-(ln\left | x \right |){}'+(\frac{1}{2}ln(1+x^{2})){}'\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: производная и интеграл

Сообщение Алексей »

Совершенно верно :yes: Давайте начнем с самой простой производной, т.е. с \((\ln|x|)'\). В таблицу эту формулу я не вносил, поэтому запишу просто: \((\ln|x|)'=\frac{1}{x}\).

Теперь поработаем с третьей формулой, т.е. найдем

\(\left(\frac{1}{2}\ln(1+x^2) \right)'\)

Для начала константу, т.е. число \(\frac{1}{2}\), нужно вынести за знак производной. Вот и вынесите её :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Вероника
Сообщения: 183
Зарегистрирован: 05 апр 2014, 11:24

Re: производная и интеграл

Сообщение Вероника »

\((\frac{1}{2}ln(1+x^{2})){}'=\frac{1}{2}(ln(1+x^{2})){}'\)
так? :)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: производная и интеграл

Сообщение Алексей »

Согласен :yes: Теперь можно обратиться к таблице производных. В ней есть формула №8, согласно которой \((\ln u)'=\frac{1}{u}\cdot u'\). Нам же нужно найти \((\ln(1+x^2))'\), т.е. у нас вместо u стоит \(1+x^2\). Тогда:

\((\ln(1+x^2))'=?\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Вероника
Сообщения: 183
Зарегистрирован: 05 апр 2014, 11:24

Re: производная и интеграл

Сообщение Вероника »

\(\frac{1}{2}*\frac{1}{1+x^{2}}*(1+x^{2}){}'=\frac{1}{2+2x^{2}}*(2x)\)
:)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: производная и интеграл

Сообщение Алексей »

Совершенно верно :yes: Только я бы не торопился умножать на два, - ведь гораздо проще сократить на двойку:

\(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+x^2}\cdot(1+x^2)'=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+x^2}\cdot 2x=\frac{x}{1+x^2}\)

Так запись смотрится компактнее :) Теперь перейдем к самой первой производной. Вы скачали себе таблицу производных?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: производная и интеграл

Сообщение Алексей »

Ок. Там после таблицы есть формула \(\left(\frac{u}{v} \right)'\). Если вы в эту формулу подставите \(u=\ln|x|\) и \(v=1-x^2\), то сможете записать

\(\left(\frac{\ln|x|}{1-x^2} \right)=?\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить