Исследование функции

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Исследование функции

Сообщение Оля »

\(\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{{(4-x)^{3}}+{x^{3}}}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{64-48x+12x^{2}}{x^{2}} = \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^{2}(\frac{64}{x^{2}}-\frac{48}{x}+12)}{x^{2}} = \lim_{x\rightarrow \infty }({\frac{64}{x^{2}}-\frac{48}{x}+12)} = 12\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследование функции

Сообщение Алексей »

Верно, но зачем выносить \(x^2\) за скобку? :) Сразу можно почленно разделить:

\(\lim_{x\to \infty }\frac{{(4-x)^{3}}+{x^{3}}}{x^{2}}=\lim_{x\to \infty }\frac{64-48x+12x^{2}}{x^{2}}=
\lim_{x\to \infty}\left(\frac{64}{x^2}-\frac{48}{x}+12 \right)=12\)

Итак, прямая \(y=-x+12\) - наклонная асимптота. Осталось только построить график, но это чуток позже сделаем, - я часа через 3-4 буду в сети.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Исследование функции

Сообщение Оля »

я просто привыкла выносить,нас так научили :)
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Исследование функции

Сообщение Оля »

хорошо, я сейчас тоже ухожу, но вечером,наверно, зайду :)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследование функции

Сообщение Алексей »

Пока соберу все исследование в одну кучу, чтобы были видны результаты.

Функция \(y=\frac{(4-x)^3}{x^2}\).
  1. Область определения
    \(x\in (-\infty;0)\cup (0;+\infty)\)
  2. Точки пересечения с осями координат
    С осью Ох: \((4;0)\)
    С осью Оу пересечений нет.
  3. Интервалы знакопостоянства
    Если \(x\in(4;+\infty)\) - функция меньше нуля (т.е. \(y<0\)).
    Если \(x\in (-\infty;0)\cup (0;4)\), то \(y>0\).
  4. Проверка на четность
    Функция ни четная ни нечетная
  5. Интервалы монотонности и экстремумы
    \(y'=-\frac{(x-4)^2(x+8)}{x^3}\)
    \(x\in(-\infty;-8)\cup (0;+\infty)\) - функция убывает;
    \(x\in (-8;0)\) - функция возрастает.
    \(x_{\min}=-8\), \(y_{\min}=27\).
  6. Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба
    \(y''=-\frac{96}{x^3}+\frac{384}{x^4}=\frac{96(4-x)}{x^4}\)
    \(x\in(-\infty; 0)\cup (0;4)\) - функция вогнута;
    \(x\in (4;+\infty)\) - функция выпукла.
    \((4;0)\) - точка перегиба.
  7. Точки разрыва. Асимптоты.
    \(x=0\) - точка разрыва второго рода.
    Прямая \(x=0\) (ось Оу) - вертикальная асимптота, прямая \(y=-x+12\) - наклонная асимптота.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Исследование функции

Сообщение Оля »

я готова к построению графика :)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследование функции

Сообщение Алексей »

Отлично, сейчас и построим :) Только загружу программу.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследование функции

Сообщение Алексей »

Ну, примерно так получается. Результаты исследования подтверждаются: т.е. график над осью Ох если \(x<4\) (при этом \(x\neq 0\)) и так далее.
1.png
1.png (22.04 КБ) 7139 просмотров
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Исследование функции

Сообщение Оля »

Наконец-то мы дорешали это задание! Не знаю,как бы я это сама решила!
Спасибо огромнейшее за то, что тратите на меня столько времени и терпения! :)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследование функции

Сообщение Алексей »

Да всегда пожалуйста :) Только решали вы все равно сами - я большей частью подсказывал ход преобразований :) Главное - сверьте по графику свои результаты, чтобы не получилось: график отдельно, а результаты отдельно.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить