Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Методами дифференциального исчисления исследовать функци

Сообщение Алексей »

Еще бы пару точек добавить, и было бы совсем норм:
1.png
1.png (1.19 КБ) 5444 просмотра
Теперь нужно выяснить, какой знак имеет \(y'\) на каждом из полученных интервалов.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Методами дифференциального исчисления исследовать функци

Сообщение Алексей »

Погодите, давайте тогда постепенно. Я возьму любое число с интервала \(x>3\), например, \(x=4\), и подставлю его в формулу для \(y'\):

\(y'=\frac{x^2(9-x^2)}{(3-x^2)^2}=\frac{4^2(9-4^2)}{(3-4^2)^2}=\frac{16\cdot (-7)}{169}<0\)

Т.е., на первом интервале таки минус.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Методами дифференциального исчисления исследовать функци

Сообщение Алексей »

Тут можно так рассудить: \(x^2\) и \((3-x^2)^2\) не дадут никакой перемены знака - они же в квадрате. Т.е., перемену знака даст лишь скобка \((9-x^2)\), или, говоря иными словами, знак будет меняться в точках 3 и -3. Поэтому знаки таковы:

- + + + + -

Теперь такой момент: где \(y'>0\), там функция возрастает, а где \(y'<0\) - там убывает.

\(x\in(-\infty;-3)\cup (3;+\infty)\) - функция убывает.

Ну, а возрастает она где? :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Методами дифференциального исчисления исследовать функци

Сообщение Алексей »

Логично, но корни надо исключать - в них функция вообще не существует, т.е.

\(x\in (-3;-\sqrt{3})\cup (-\sqrt{3};\sqrt{3})\cup (\sqrt{3};3)\)

Теперь такой момент: те точки области определения, в которых производная меняет знак, называются точками экстремума. У нас такими точками есть \(x=-3\) и \(x=3\).

Вопрос: \(x=-3\) - точка максимума или минимума? Есть, конечно, готовое правило, но лучше давайте рассудим логически: до тройки функция убывала, после тройки - начала расти. Значит, \(x=3\) - есть точка ...?

Ну, и \(x=3\) тоже желательно проверить :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить