Исследование функции.

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследование функции.

Сообщение Алексей »

Да, вы правы, но какой вывод, по-вашему, из этого следует? Чему равен полученный вами предел? Попробуйте размыслить в таком ключе: если \(x\to \infty\), то очевидно \(x^2\) тоже будет стремиться к бесконечности, причем гораздо быстрее простого \(x\).

\(\lim_{x\to \infty }\left( 2x^2-3x-\frac{4}{x}\right)=?\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Исследование функции.

Сообщение Оля »

\(\lim_{x\rightarrow \infty }(2x^2-3x-\frac{4}{x})=\infty\) ?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследование функции.

Сообщение Алексей »

Точно. Поэтому про асимптоты речи нет. Насчет производных: их вы нашли верно. Только не написали, где функция убывает, а где возрастает; где выпукла, а где вогнута.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Исследование функции.

Сообщение Оля »

6) Монотонность функции и точки экстремума.
\({y}'= {(2x^{3}-3x^{2}-4)}'= 6x^{2}-6x = 6x(x-1)\)
у меня в этом пункте получилось, что функция возрастает на\((-\infty;1)(1 ; +\infty )\)
это верно?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследование функции.

Сообщение Алексей »

да, только там у вас, кажется, опечатка: возрастает при \(x\in (-\infty;0)\cup (1;+\infty)\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Исследование функции.

Сообщение Оля »

а откуда 0 ? у меня по-другому почему-то :(
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Исследование функции.

Сообщение Оля »

и получается нет участков, где функция убывает?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследование функции.

Сообщение Алексей »

Мы должны приравнять производную к нулю, т.е.

\(y'=0;\;\; 6x(x-1)=0\)

Отсюда имеем два корня: \(x_1=0\) и \(x_2=1\). Эти два корня разбивают всю числовую ось на три интервала: \((-\infty;0)\), \((0;1)\) и \((1;+\infty)\). На данных интервалах и проверяется знак \(y'\), после чего можно делать выводы про убывание, возрастание и точки экстремума.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Исследование функции.

Сообщение Оля »

Выводы: 1) \(y(x)\) возрастает на \((-\infty ; 0) и (1;+\infty)\)
2) \(y(x)\) убывает на \((0;1)\)
3) \(x=0\) - точка локального максимума
\(x=1\)- точка локального минимума
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследование функции.

Сообщение Алексей »

Отлично :yes: Только желательно не просто указать, что \(x=0\) - точка локального максимума, но найти и сам максимум, т.е. \(y\):

\(y_{\max}=y(0)=-4\)

.

Теперь осталось только вторая производная и связанные с нею интервалы выпуклости и вогнутости.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить