Уравнение касательной к линии.
Уравнение касательной к линии.
Есть вопрос: "Геометрический и физический смысл производной.Уравнение касательной к линии."
Про производную понятно, но "уравнение касательной к линии"?
Этот ответ верен? http://www.pm298.ru/plline.php
Или "Уравнение касательной к графику функции"?
Про производную понятно, но "уравнение касательной к линии"?
Этот ответ верен? http://www.pm298.ru/plline.php
Или "Уравнение касательной к графику функции"?
Re: Уравнение касательной к линии.
В принципе, уравнение касательной к графику функции или уравнение касательной к линии, по сути, одно и то же. Однако по указанной вами ссылке уравнения записаны несколько коряво.
Самый первый случай, когда функция задана в явном виде, т.е. \(y=f(x)\) и касание происходит в точке \((x_0,y_0)\) (при этом \(f'(x_0)\neq\infty\)) описывается таким уравнением:
Если же \(f'(x_0)=\infty\), то уравнение касательной примет вид \(x=x_0\).
Если функция задана параметрически, т.е. \(\left\{\begin{aligned}&x=\varphi(t);\\&y=\psi(t).\end{aligned}\right.\), при этом касательную требуется найти в некоей точке \(A\), соответствующей значению параметра \(t_0\), то координаты самой точки \(A\) (т.е. точки касания) будут такими: \(\left\{\begin{aligned}&x_0=\varphi(t_0);\\&y_0=\psi(t_0).\end{aligned}\right.\). И так как для параметрически заданной функции имеем \(y_{x}^{'}=\frac{\psi_{t}^{'}}{\varphi_{t}^{'}}\), то указанное выше уравнение касательной можно переписать так:
Или же, например, если функция \(y=f(x)\) задана в неявном виде, с помощью уравнения \(F(x,y)=0\), то производная \(y_{x}^{'}\) может быть найдена по формуле \(y_{x}^{'}=-\frac{F_{x}^{'}}{F_{y}^{'}}\). И тогда уравнение касательной примет вид:
Самый первый случай, когда функция задана в явном виде, т.е. \(y=f(x)\) и касание происходит в точке \((x_0,y_0)\) (при этом \(f'(x_0)\neq\infty\)) описывается таким уравнением:
\(y-y_0=f'(x_0)\cdot (x-x_0)\).
Если же \(f'(x_0)=\infty\), то уравнение касательной примет вид \(x=x_0\).
Если функция задана параметрически, т.е. \(\left\{\begin{aligned}&x=\varphi(t);\\&y=\psi(t).\end{aligned}\right.\), при этом касательную требуется найти в некоей точке \(A\), соответствующей значению параметра \(t_0\), то координаты самой точки \(A\) (т.е. точки касания) будут такими: \(\left\{\begin{aligned}&x_0=\varphi(t_0);\\&y_0=\psi(t_0).\end{aligned}\right.\). И так как для параметрически заданной функции имеем \(y_{x}^{'}=\frac{\psi_{t}^{'}}{\varphi_{t}^{'}}\), то указанное выше уравнение касательной можно переписать так:
\(y-\psi(t_0)=\left.\frac{\psi_{t}^{'}}{\varphi_{t}^{'}}\right|_{t=t_0}\cdot (x-\varphi(t_0))\).
Или же, например, если функция \(y=f(x)\) задана в неявном виде, с помощью уравнения \(F(x,y)=0\), то производная \(y_{x}^{'}\) может быть найдена по формуле \(y_{x}^{'}=-\frac{F_{x}^{'}}{F_{y}^{'}}\). И тогда уравнение касательной примет вид:
\(y-y_0=\left.-\frac{F_{x}^{'}}{F_{y}^{'}}\right|_{\begin{aligned}&x=x_0\\&y=y_0\end{aligned}}\cdot (x-x_0)\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Уравнение касательной к линии.
Тогда такой ответ будет верным:
Уравнение касательной
Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b,где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x0, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.
Итак, пусть дана функция y = f (x), которая имеет производнуюy = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x0 ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:
y = f ’(x0) • (x − x0) + f (x0)
Здесь f ’(x0) — значение производной в точке x0, а f (x0) — значение самой функции.
Уравнение касательной
Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b,где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x0, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.
Итак, пусть дана функция y = f (x), которая имеет производнуюy = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x0 ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:
y = f ’(x0) • (x − x0) + f (x0)
Здесь f ’(x0) — значение производной в точке x0, а f (x0) — значение самой функции.
Re: Уравнение касательной к линии.
В принципе, это и есть то самое первое уравнение, которое я написал:lecture писал(а):y = f ’(x0) • (x − x0) + f (x0)
Здесь f ’(x0) — значение производной в точке x0, а f (x0) — значение самой функции.
\(y-y_0=f'(x_0)\cdot (x-x_0)\)
Только вместо \(y_0\) записано \(f(x_0)\), а это одно и то же. При этом слагаемое \(f(x_0)\) перенесено в правую часть уравнения.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Уравнение касательной к линии.
Спасибо.
Re: Уравнение касательной к линии.
Пожалуйста Если хотите, могу показать пример применения этой формулы.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Уравнение касательной к линии.
Да, я поняла. Простейший пример y=1/x в точке x=0
Re: Уравнение касательной к линии.
Это не простейший пример Дело в том, что в точке \(x=0\) не существует ни значения функции \(y=\frac{1}{x}\), ни значения её производной, \(y'=-\frac{1}{x^2}\). Соответственно, касательной в этой точке попросту нет.
Для примера: если нам требуется найти уравнение касательной к графику функции \(y=x^3+x\) в точке \(x_0=1\), то сразу определяем значение \(y_0=1^3+1=2\).
И уравнение будет таким: \(y-2=4\cdot (x-1)\) или после упрощения: \(y=4x-2\). На графике это будет выглядеть так:
Для примера: если нам требуется найти уравнение касательной к графику функции \(y=x^3+x\) в точке \(x_0=1\), то сразу определяем значение \(y_0=1^3+1=2\).
\(y'=3x^2+1; \; y'(1)=3\cdot 1^2+1=4.\)
И уравнение будет таким: \(y-2=4\cdot (x-1)\) или после упрощения: \(y=4x-2\). На графике это будет выглядеть так:
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Уравнение касательной к линии.
Этот пример подходит?
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y=\(\frac{1}{2}\)\(x^{2}\) и y=2x
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y=\(\frac{1}{2}\)\(x^{2}\) и y=2x
Re: Уравнение касательной к линии.
Это уже к вычислению площади с помощью интегралаlecture писал(а):Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y=\(\frac{1}{2}\)\(x^{2}\) и y=2x
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"