Уравнение касательной к линии.

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
lecture
Сообщения: 29
Зарегистрирован: 03 окт 2014, 15:30

Уравнение касательной к линии.

Сообщение lecture »

Есть вопрос: "Геометрический и физический смысл производной.Уравнение касательной к линии."
Про производную понятно, но "уравнение касательной к линии"?
Этот ответ верен? http://www.pm298.ru/plline.php
Или "Уравнение касательной к графику функции"?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Уравнение касательной к линии.

Сообщение Алексей »

В принципе, уравнение касательной к графику функции или уравнение касательной к линии, по сути, одно и то же. Однако по указанной вами ссылке уравнения записаны несколько коряво.

Самый первый случай, когда функция задана в явном виде, т.е. \(y=f(x)\) и касание происходит в точке \((x_0,y_0)\) (при этом \(f'(x_0)\neq\infty\)) описывается таким уравнением:

\(y-y_0=f'(x_0)\cdot (x-x_0)\).

Если же \(f'(x_0)=\infty\), то уравнение касательной примет вид \(x=x_0\).

Если функция задана параметрически, т.е. \(\left\{\begin{aligned}&x=\varphi(t);\\&y=\psi(t).\end{aligned}\right.\), при этом касательную требуется найти в некоей точке \(A\), соответствующей значению параметра \(t_0\), то координаты самой точки \(A\) (т.е. точки касания) будут такими: \(\left\{\begin{aligned}&x_0=\varphi(t_0);\\&y_0=\psi(t_0).\end{aligned}\right.\). И так как для параметрически заданной функции имеем \(y_{x}^{'}=\frac{\psi_{t}^{'}}{\varphi_{t}^{'}}\), то указанное выше уравнение касательной можно переписать так:

\(y-\psi(t_0)=\left.\frac{\psi_{t}^{'}}{\varphi_{t}^{'}}\right|_{t=t_0}\cdot (x-\varphi(t_0))\).

Или же, например, если функция \(y=f(x)\) задана в неявном виде, с помощью уравнения \(F(x,y)=0\), то производная \(y_{x}^{'}\) может быть найдена по формуле \(y_{x}^{'}=-\frac{F_{x}^{'}}{F_{y}^{'}}\). И тогда уравнение касательной примет вид:

\(y-y_0=\left.-\frac{F_{x}^{'}}{F_{y}^{'}}\right|_{\begin{aligned}&x=x_0\\&y=y_0\end{aligned}}\cdot (x-x_0)\).

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
lecture
Сообщения: 29
Зарегистрирован: 03 окт 2014, 15:30

Re: Уравнение касательной к линии.

Сообщение lecture »

Тогда такой ответ будет верным:

Уравнение касательной
Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b,где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x0, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.
Итак, пусть дана функция y = f (x), которая имеет производнуюy = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x0 ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:
y = f ’(x0) • (x − x0) + f (x0)
Здесь f ’(x0) — значение производной в точке x0, а f (x0) — значение самой функции.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Уравнение касательной к линии.

Сообщение Алексей »

lecture писал(а):y = f ’(x0) • (x − x0) + f (x0)
Здесь f ’(x0) — значение производной в точке x0, а f (x0) — значение самой функции.
В принципе, это и есть то самое первое уравнение, которое я написал:


\(y-y_0=f'(x_0)\cdot (x-x_0)\)

Только вместо \(y_0\) записано \(f(x_0)\), а это одно и то же. При этом слагаемое \(f(x_0)\) перенесено в правую часть уравнения.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
lecture
Сообщения: 29
Зарегистрирован: 03 окт 2014, 15:30

Re: Уравнение касательной к линии.

Сообщение lecture »

Спасибо.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Уравнение касательной к линии.

Сообщение Алексей »

Пожалуйста :) Если хотите, могу показать пример применения этой формулы.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
lecture
Сообщения: 29
Зарегистрирован: 03 окт 2014, 15:30

Re: Уравнение касательной к линии.

Сообщение lecture »

Да, я поняла. Простейший пример y=1/x в точке x=0
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Уравнение касательной к линии.

Сообщение Алексей »

Это не простейший пример :) Дело в том, что в точке \(x=0\) не существует ни значения функции \(y=\frac{1}{x}\), ни значения её производной, \(y'=-\frac{1}{x^2}\). Соответственно, касательной в этой точке попросту нет.

Для примера: если нам требуется найти уравнение касательной к графику функции \(y=x^3+x\) в точке \(x_0=1\), то сразу определяем значение \(y_0=1^3+1=2\).

\(y'=3x^2+1; \; y'(1)=3\cdot 1^2+1=4.\)

И уравнение будет таким: \(y-2=4\cdot (x-1)\) или после упрощения: \(y=4x-2\). На графике это будет выглядеть так:

Безымянный.png
Безымянный.png (9.85 КБ) 11835 просмотров

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
lecture
Сообщения: 29
Зарегистрирован: 03 окт 2014, 15:30

Re: Уравнение касательной к линии.

Сообщение lecture »

Этот пример подходит?
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y=\(\frac{1}{2}\)\(x^{2}\) и y=2x
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Уравнение касательной к линии.

Сообщение Алексей »

lecture писал(а):Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y=\(\frac{1}{2}\)\(x^{2}\) и y=2x
Это уже к вычислению площади с помощью интеграла :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить