дифференцируемость функции
Добавлено: 30 янв 2017, 13:45
Помогите с решением
Задание: исследовать на дифференцируемость функцию y = |П — х|* sin x
В ответе написано, что она дифференцируема всюду. У меня не сходится, в чем ошибка?
Решение:
Функция обращается в ноль в точках: х=0; Пk, k целое
Раскроем знак модуля:
[tex]y(x)=\begin{cases} & \text{(П-x)*sinx , } \\ & \text{-(П-x)*sinx } \end{cases}[/tex]
Исследуем функцию в точке х=0:
Находим левую производную:
[tex]\lim_{h\rightarrow -0}(y(x_{0}+h)-y(x_{0}))/h=\lim_{h\rightarrow -0}(-(П-0-h)*sin(0+h)-0)/h=\lim_{h\rightarrow -0}((-П+h)*sinh)/h=-П-0=-П;[/tex]
Теперь правую:
[tex]\lim_{h\rightarrow +0}((П-0-h)*sin(0+h)-0)/h=\lim_{h\rightarrow +0}((П-h)*sinh)/h=П+0=П;[/tex]
Следовательно, производной данной функции в точке х=0 не существует, а значит функция в ней не дифференцируема;
Далее, исследую в точках: х=Пk, k целое
Если k - нечетное, то односторонние производные равны 0; если k - четное, то у меня снова получается, что они не равны (правая производная =-П, а левая = П), значит тут тоже не существует производной. Что я делаю не так??
PS/ h-это приращение аргумента
Задание: исследовать на дифференцируемость функцию y = |П — х|* sin x
В ответе написано, что она дифференцируема всюду. У меня не сходится, в чем ошибка?
Решение:
Функция обращается в ноль в точках: х=0; Пk, k целое
Раскроем знак модуля:
[tex]y(x)=\begin{cases} & \text{(П-x)*sinx , } \\ & \text{-(П-x)*sinx } \end{cases}[/tex]
Исследуем функцию в точке х=0:
Находим левую производную:
[tex]\lim_{h\rightarrow -0}(y(x_{0}+h)-y(x_{0}))/h=\lim_{h\rightarrow -0}(-(П-0-h)*sin(0+h)-0)/h=\lim_{h\rightarrow -0}((-П+h)*sinh)/h=-П-0=-П;[/tex]
Теперь правую:
[tex]\lim_{h\rightarrow +0}((П-0-h)*sin(0+h)-0)/h=\lim_{h\rightarrow +0}((П-h)*sinh)/h=П+0=П;[/tex]
Следовательно, производной данной функции в точке х=0 не существует, а значит функция в ней не дифференцируема;
Далее, исследую в точках: х=Пk, k целое
Если k - нечетное, то односторонние производные равны 0; если k - четное, то у меня снова получается, что они не равны (правая производная =-П, а левая = П), значит тут тоже не существует производной. Что я делаю не так??
PS/ h-это приращение аргумента