Вычислить неопределенный интеграл

Нахождение неопределённых интегралов. Вычисление определённых интегралов. Применение определённых интегралов для нахождения площадей, длин дуг и объёмов тел. Несобственные интегралы.
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Вычислить неопределенный интеграл

Сообщение Оля »

Добрый вечер :) Помогите, пожалуйста :)
\(\frac{x^3+2x^2+3}{(x-1)(x-2)(x-3) }\)
Не могу понять, как раскрыть скобки \((x-1)(x-2)(x-3)\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычислить неопределенный интеграл

Сообщение Алексей »

Добрый вечер :) Насколько я понимаю, вы хотите разделить числитель на знаменатель? Скобки раскрыть можно постепенно: сначала

\((x-1)(x-2)=x^2-3x+2\)

а потом

\((x-1)(x-2)(x-3)=(x^2-3x+2)(x-3)=...\)

Ну, а после деления у вас получится правильная рациональная дробь, которую можно проинтегрировать по аналогии с примером №3 на странице по интегрированию рациональных дробей.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Вычислить неопределенный интеграл

Сообщение Оля »

\(x^3-6x^2+11x-6\) :)
дальше попробую сама решить,
потом напишу, что получилось :)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычислить неопределенный интеграл

Сообщение Алексей »

Ну, скобки вы раскрыли верно :) Дальше, соответственно, деление в столбик.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Вычислить неопределенный интеграл

Сообщение Оля »

После деления у меня получилось \(8x^2-11x+9\)
дальше я использовала метод вычеркивания
в итоге получилось \(\int (1+\frac{3}{x-1}-\frac{19}{x-2}+\frac{24}{x-3})dx = x+3ln\left | x-1 \right |-19ln\left | x-2 \right |+24ln\left | x-3 \right | + c\) :)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычислить неопределенный интеграл

Сообщение Алексей »

Ну, метод вычеркивания я не очень уважаю :) Это всего лишь частный случай метода подстановки. Но интеграл найден верно.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Оля
Сообщения: 297
Зарегистрирован: 04 апр 2014, 12:16

Re: Вычислить неопределенный интеграл

Сообщение Оля »

Мне кажется метод вычеркивания легче :)
мы на паре разбирали
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычислить неопределенный интеграл

Сообщение Алексей »

Попробуйте глянуть пример №3 на странице по разложению рациональных дробей на элементарные. Там как раз похожая дробь. Уверяю вас, что в методе подстановки частных значений ничего страшного нету :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить