Страница 1 из 1

Сложный интеграл с экспонентой

Добавлено: 29 ноя 2016, 07:42
Triblaid
Дан интеграл \(\frac{dx}{e^{2x}+e^{x}}\) поможете как можно заменить? Чтобы начать решать?

Re: Сложный интеграл с экспонентой

Добавлено: 29 ноя 2016, 10:09
Алексей
Замена тут такая: \(t=e^x\). Отсюда имеем: \(x=\ln{t}\), \(dx=\frac{dt}{t}\). И интеграл теперь станет таким:

\(\int\frac{dx}{e^{2x}+e^x}=\int\frac{dt}{t\cdot\left(t^2+t\right)}=\int\frac{dt}{t^2\cdot\left(t+1\right)}\)

А далее применяем стандартные методы интегрирования рациональных функций:

\(\frac{1}{t^2\cdot\left(t+1\right)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t^2}+\frac{C}{t+1}=\ldots\)


Re: Сложный интеграл с экспонентой

Добавлено: 29 ноя 2016, 11:03
Triblaid
Все понял спасибо большое

Re: Сложный интеграл с экспонентой

Добавлено: 29 ноя 2016, 11:18
Triblaid
А если будет \(\frac{dx}{3e^{2x}+e^{x}}\) будет тоже самое? \(\frac{dt}{t^{2}*(3t+1)}?\)

Re: Сложный интеграл с экспонентой

Добавлено: 29 ноя 2016, 19:15
Алексей
В принципе, да. При желании вы можете \(\frac{1}{3}\) вынести за знак интеграла, но это не является обязательным.