Страница 1 из 1

Сложный интеграл с экспонентой

Добавлено: 29 ноя 2016, 07:42
Triblaid
Дан интеграл [tex]\frac{dx}{e^{2x}+e^{x}}[/tex] поможете как можно заменить? Чтобы начать решать?

Re: Сложный интеграл с экспонентой

Добавлено: 29 ноя 2016, 10:09
Добрый Волк
Замена тут такая: [tex]t=e^x[/tex]. Отсюда имеем: [tex]x=\ln{t}[/tex], [tex]dx=\frac{dt}{t}[/tex]. И интеграл теперь станет таким:
[tex]\int\frac{dx}{e^{2x}+e^x}=\int\frac{dt}{t\cdot\left(t^2+t\right)}=\int\frac{dt}{t^2\cdot\left(t+1\right)}[/tex]
А далее применяем стандартные методы интегрирования рациональных функций:
[tex]\frac{1}{t^2\cdot\left(t+1\right)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t^2}+\frac{C}{t+1}=\ldots[/tex]

Re: Сложный интеграл с экспонентой

Добавлено: 29 ноя 2016, 11:03
Triblaid
Все понял спасибо большое

Re: Сложный интеграл с экспонентой

Добавлено: 29 ноя 2016, 11:18
Triblaid
А если будет [tex]\frac{dx}{3e^{2x}+e^{x}}[/tex] будет тоже самое? [tex]\frac{dt}{t^{2}*(3t+1)}?[/tex]

Re: Сложный интеграл с экспонентой

Добавлено: 29 ноя 2016, 19:15
Добрый Волк
В принципе, да. При желании вы можете [tex]\frac{1}{3}[/tex] вынести за знак интеграла, но это не является обязательным.