Интеграл берман №1823

Нахождение неопределённых интегралов. Вычисление определённых интегралов. Применение определённых интегралов для нахождения площадей, длин дуг и объёмов тел. Несобственные интегралы.
Аватара пользователя
Paladin
Сообщения: 10
Зарегистрирован: 02 фев 2014, 12:43

Интеграл берман №1823

Сообщение Paladin »

интеграл от \(\frac{cos^3x}{sin^4x}\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Интеграл берман №1823

Сообщение Алексей »

Ну, с этим интегралом разобраться не очень сложно, - хотя немного труднее, чем с вашим предыдущим. Здесь можно попробовать свести всё к одной функции: \(\sin x\) или \(\cos x\).
Для начала выражение в числителе можно представить как \(\cos^3x\;dx=\cos^2x\cdot\cos x\; dx\). Цель этого преобразования сейчас будет ясна. Во-первых, мы знаем, что \(\sin^2x+\cos^2x=1\) (это так называемая "тригонометрическая единица"). Отсюда имеем: \(\cos^2x=1-\sin^2x\). Пойдём далее. Найдём \(d(\sin x)\):

\(d(\sin x)=(\sin x)'dx=\cos x\; dx\)

Теперь соберём всё воедино, представив выражение \(\cos^3x\;dx\) в таком виде:

\(\cos^3x\;dx=\cos^2x\cdot\cos x\; dx=(1-\sin^2x)d(\sin x)\)

Теперь попробуйте записать ваш интеграл уже с изменениями в числителе, а потом сделать замену переменной \(t=\sin x\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Paladin
Сообщения: 10
Зарегистрирован: 02 фев 2014, 12:43

Re: Интеграл берман №1823

Сообщение Paladin »

ну вы расписали, осталось только букву поменять :) \(\int\frac{(1-t^2)dt}{t^4}\).
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Интеграл берман №1823

Сообщение Алексей »

Paladin писал(а):ну вы расписали, осталось только букву поменять :) \(\int\frac{(1-t^2)dt}{t^4}\).
Главное, - чтобы понятна идея была :) Когда наберёте достаточно опыта, сможете такие преобразования сразу видеть. А дальнейшие преобразования, кстати, уже несложные - разбить одну дробь на две:

\(\int\frac{(1-t^2)dt}{t^4}=\int\left(\frac{1}{t^4}-\frac{t^2}{t^4} \right)dt=\int\left(\frac{1}{t^4}-\frac{1}{t^2} \right)dt=\int\left(t^{-4}-t^{-2} \right)dt\)

А дальше уже работает первая формула из таблицы интегралов.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Paladin
Сообщения: 10
Зарегистрирован: 02 фев 2014, 12:43

Re: Интеграл берман №1823

Сообщение Paladin »

Согласен. дальше там уже норм. вернул в конце синус, ответ сошелся.
Ответить