Отношения строгого порядка. Как такое может быть??

Темы, которые не вошли в предыдущие разделы.
Mathlife
Сообщения: 3
Зарегистрирован: 04 авг 2017, 16:37

Отношения строгого порядка. Как такое может быть??

Сообщение Mathlife » 04 авг 2017, 16:44

Самостоятельно изучаю высшую математику. Перешла к изучению отношений. Отношением порядка является то, которое тразитивно и антисимметрично. Строгим при этом является то, которое антирефлексивно. В пример приводят отношение < (меньше). С транзитивностью и антирефлексивностью все понятно. Но как оно может быть антисимметрично? Ведь тогда получается, что если а<в и в<а, то а=в. Как так то? Да и получается, что это противоречит антирефлексивности?
Что я не правильно поняла?

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1353
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Отношения строгого порядка. Как такое может быть??

Сообщение Добрый Волк » 04 авг 2017, 18:14

Видите ли, для элементов числового множества, на котором определено отношение $<$, невозможно одновременное выполнение неравенств $a<b$ и $b<a$. Например, условия $2<3$ и $3<2$ не выполнимы одновременно.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Mathlife
Сообщения: 3
Зарегистрирован: 04 авг 2017, 16:37

Re: Отношения строгого порядка. Как такое может быть??

Сообщение Mathlife » 05 авг 2017, 01:38

Добрый Волк писал(а):
04 авг 2017, 18:14
Видите ли, для элементов числового множества, на котором определено отношение $<$, невозможно одновременное выполнение неравенств $a<b$ и $b<a$. Например, условия $2<3$ и $3<2$ не выполнимы одновременно.
Я это понимаю. Отсюда и вопрос. Почему тогда идёт утверждение, что данное отношение антисимметрично, когда антисимметричность как раз говорит об обратном?

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1353
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Отношения строгого порядка. Как такое может быть??

Сообщение Добрый Волк » 05 авг 2017, 11:09

Антисимметричность не говорит об обратном :)

Отношение строгого порядка антирефлексивно. Оно не содержит ни одной пары вида $(x,x)$, т.е. в любой паре $(x,y)$ имеем $x\neq{y}$.

Антисимметричность, в этом случае (для антирефлексивного отношения), по сути, говорит о следующем: пары $(x,y)$ и $(y,x)$ не могут одновременно принадлежать отношению. И для отношения $<$ это действительно выполнено.

Можно подойти к вопросу и более формально. Согласно определению, отношение $R$ антисимметрично, если истинно такое высказывание:

$xRy\wedge{yRx}\Rightarrow{x=y}$

Для отношения $<$ это означает, что:

$x<y\wedge{y<x}\Rightarrow{x=y}$

Истинно лишь одно из высказываний: $x<y$ или $y>x$, поэтому $x<y\wedge{y<x}\;=\;FALSE$. Предикат $x=y$ ложен для всех пар из отношения $<$, т.е. для всех элементов отношения $<$ предикат $xRy\wedge{yRx}\Rightarrow{x=y}$ примет вид:

$\;FALSE\Rightarrow{FALSE}\;=\;TRUE$

Т.е. предикат $xRy\wedge{yRx}\Rightarrow{x=y}$ истинный для всех элементов данного отношения.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Mathlife
Сообщения: 3
Зарегистрирован: 04 авг 2017, 16:37

Re: Отношения строгого порядка. Как такое может быть??

Сообщение Mathlife » 05 авг 2017, 21:14

Добрый Волк писал(а):
05 авг 2017, 11:09
Антисимметричность не говорит об обратном :)

Отношение строгого порядка антирефлексивно. Оно не содержит ни одной пары вида $(x,x)$, т.е. в любой паре $(x,y)$ имеем $x\neq{y}$.

Антисимметричность, в этом случае (для антирефлексивного отношения), по сути, говорит о следующем: пары $(x,y)$ и $(y,x)$ не могут одновременно принадлежать отношению. И для отношения $<$ это действительно выполнено.

Можно подойти к вопросу и более формально. Согласно определению, отношение $R$ антисимметрично, если истинно такое высказывание:

$xRy\wedge{yRx}\Rightarrow{x=y}$

Для отношения $<$ это означает, что:

$x<y\wedge{y<x}\Rightarrow{x=y}$

Истинно лишь одно из высказываний: $x<y$ или $y>x$, поэтому $x<y\wedge{y<x}\;=\;FALSE$. Предикат $x=y$ ложен для всех пар из отношения $<$, т.е. для всех элементов отношения $<$ предикат $xRy\wedge{yRx}\Rightarrow{x=y}$ примет вид:

$\;FALSE\Rightarrow{FALSE}\;=\;TRUE$

Т.е. предикат $xRy\wedge{yRx}\Rightarrow{x=y}$ истинный для всех элементов данного отношения.
Спасибо! Вроде разобралась :yes:
А не могли бы Вы привести ещё примеры отношений строгого порядка, не связанных со знаками "меньше/больше", пожалуйста?

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1353
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Отношения строгого порядка. Как такое может быть??

Сообщение Добрый Волк » 05 авг 2017, 22:55

Чтобы вам было ещё понятнее, приведу одно свойство, которое является необходимым и достаточным для антисимметричности:

Бинарное отношение $R$ на множестве $X$ антисимметрично тогда и только тогда, когда $R\cap{R^{-1}}\subseteq\id{X}$

Запись $\id{X}$ означает диагональ множества $X$, т.е. множество всех пар вида $(a,a)$, где $a\in{X}$.

Попробуйте самостоятельно применить записанное выше свойство для отношения $<$, заданного на некоем числовом множестве $X$, элементы которого являются действительными числами.

Что касается вопроса относительно примера антисимметричного множества: пусть задано множество $X=\{a,b,c,d\}$ и отношение $R=\{(a,a), (a,c), (d,b), (d,d)\}$. Это отношение является антисимметричным. Можете доказать это как с использованием стандартного определения, так и с применением записанного выше свойства.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Ответить