Векторы, базис

Темы из курса высшей математики, которые не вошли в предыдущие разделы.
Юлия
Сообщения: 3
Зарегистрирован: 05 янв 2016, 09:54

Векторы, базис

Сообщение Юлия »

Помогите, пожалуйста...
Дана система векторов а1,а2,..,а6. Нужно дополнить линейнонезависимую часть а1,а2 до базиса векторов а1,а2,...,а6 и все векторы не вошедшие в базис разложить по базису.
а1(4,1,3,8)
а2(7,-1,0,6)
а3(0,1,1,2)
а4(1,1,1,3)
а5(1,0,-2,-1)
а6(1,0,1,2)
P.S. Решила двумя способами в одном три вектора ,а в другом четыре вектора образуют базис. Не знаю какой верный (
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Векторы, базис

Сообщение Алексей »

В базис данного пространства должно входить 4 вектора, так как пространство четырехмерно (каждый вектор имеет 4 координаты). Задача такого рода решается двумя способами: долгим и нормальным :)

Долгий способ: добавить в базис любой вектор (\( a_3\), \(a_4\), \(a_5\) или \(a_6\)). Например, добавим вектор \(a_3\). Находим ранг матрицы, составленной из векторов \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\). Если ранг равен 3, то добавляем иной вектор. Если ранг менее 3, то вместо \(a_3\) добавляем иной вектор. Таким перебором выберем 4 вектора, входящих в базис. А затем уже выразим остальные (не базисные) векторы через базисные.

Второй способ попроще. Мы записываем матрицу, строки которой являются данными векторами. А затем приводим её к ступенчатому виду. Записывая матрицу, удобно поместить вектор \(a_6\) в первую строку, так как первая координата этого вектора равна 1.

\(\left( \begin{array} {cccc}1 & 0 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 3 & 8 \\ 7 & -1 & 0 & 6\\ 0 & 1 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 1 & 3\\1 & 0 & -2 & -1\end{array} \right)\begin{array} {l} a_6\\a_1\\ a_2\\ a_3\\a_4\\a_5 \end{array}\)

А дальше работает стандартное вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований. При этом все полученные векторы продолжаем записывать справа:

\(\left( \begin{array} {cccc}1 & 0 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 3 & 8 \\ 7 & -1 & 0 & 6\\ 0 & 1 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 1 & 3\\1 & 0 & -2 & -1\end{array} \right)\begin{array} {l} a_6\\a_1\\ a_2\\ a_3\\a_4\\a_5 \end{array}\rightarrow

\left[\begin{aligned}& II-4\cdot I;\\& III-7\cdot I;\\&V-I;\\&VI-I.\end{aligned}\right]\rightarrow

\left( \begin{array} {cccc}1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -7 & -8\\ 0 & 1 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 0 & 1\\0 & 0 & -3 & -3\end{array} \right)\begin{array} {l} a_6\\a_1-4a_6\\ a_2-7a_6\\ a_3\\a_4-a_6\\a_5-a_6\end{array}\rightarrow

\left[\begin{aligned}& III+II;\\&IV-II;\\&V-II.\end{aligned}\right]\rightarrow\ldots\)

Далее переходим к обнулению элементов второго столбца.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Юлия
Сообщения: 3
Зарегистрирован: 05 янв 2016, 09:54

Re: Векторы, базис

Сообщение Юлия »

Добрый волк, я вычислила ранг и у меня получилось , что RANK=3... Я решила и длинным способом и при добавлении к векторам а1 и а2 любого другого вектора (а3, а4, а5, а6) ранг все равно равен 3... И даже при вычислении 4 векторов(а1, а2 и 2ух других) RANK все равно равен 3 :cry:
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Векторы, базис

Сообщение Алексей »

В полученном результате ничего страшного нет. Кажется, своим предыдущим сообщением я вас немного ввел в заблуждение :oops: В базис четырехмерного пространства действительно входят 4 линейно независимых вектора. Но никто не гарантирует, что базис вашей системы векторов будет содержать именно 4 линейно независимых вектора, так как базис всего пространства вовсе не обязан совпадать с базисом заданной системы векторов. Я проверил в маткаде и выяснил, что ранг матрицы, строки которой составлены из шести заданных векторов, равен трем. Это значит, что в базис заданной шестёрки векторов (\( a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(a_4\), \(a_5\) и \(a_6\)) входят лишь три вектора. Все остальные вектора этой шестерки векторов выражаются через три базисных вектора.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Юлия
Сообщения: 3
Зарегистрирован: 05 янв 2016, 09:54

Re: Векторы, базис

Сообщение Юлия »

Спасибо большое за помощь. Вы мне очень помогли с решением данной задачи :)
Закрыто