Найти ортогональный базис линейной оболочки

Темы из курса высшей математики, которые не вошли в предыдущие разделы.
0201400
Сообщения: 39
Зарегистрирован: 12 фев 2014, 18:43

Найти ортогональный базис линейной оболочки

Сообщение 0201400 »

Не знаю, в тот ли раздел. Вот задача, прошу помощи, хотя бы по первому пункту:
1. Найти ортогональный базис линейной оболочки, натянутой на следующие векторы \(a_1=(1,i,1); a_2=(0,i,0)\)
2. Найти матрицу перехода от базиса \(a_1 a_2\) к ортогональному. Сделать проверку.
3. Найти базис в ортогональном дополнении к \(L(a_1,a_2)\). Сделать проверку.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти ортогональный базис линейной оболочки

Сообщение Алексей »

Насколько я помню, там используется процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Сейчас подробно расписать, к сожалению, не могу - много срочной работы, но завтра вечером, думаю, смогу подробно ответить на ваши вопросы.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти ортогональный базис линейной оболочки

Сообщение Алексей »

Итак, поднял свои старые конспекты, - действительно, для ответа на вопрос первого пункта нужно использовать процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Нам заданы два вектора трёхмерного пространства \(R^3\), причём, насколько я понимаю, скалярное произведение считается по стандартной формуле (т.к. в условии не оговорено обратное). Так как параметр \(i\) в условии не пояснён, то будем считать его просто некоей константой.

Для начала отметим, что векторы линейно независимы. Показать это в нашем случае довольно просто. Обычно исследуют ранг матрицы, столбцы которой образуют заданные векторы. Но для двух векторов трёхмерного пространства можно использовать следующее утверждение: два вектора \(a_1\) и \(a_2\) будут линейно зависимыми, если существует константа \(c \neq 0\) такая, что выполнено равенство \(a_1=c\cdot a_2\). Если такой константы не существует, то векторы \(a_1\), \(a_2\) - линейно независимы. Допустим, такая константа есть в нашем случае, т.е. существует такое число \(c \neq 0\), для которого выполнено равенство:

\((1;i;1)=c\cdot (0,i,0)\), \((1;i;1)= (0;c i;0)\)

Векторы будут равными в том и только в том случае, когда равны их соответствующие координаты. Для равенства \((1;i;1)= (0;c i;0)\) это означает следующее: \(\left\{ \begin{aligned} &1=0; \\ & i=c i; \\ & 1=0. \end {aligned} \right.\). Первое и третье уравнения этой системы дают явное противоречие :) Поэтому нет такой константы, для которой равенство \(a_1=c\cdot a_2\) выполнено. Вывод: векторы \(a_1\), \(a_2\) - линейно независимы.

Теперь перейдём к процессу ортогонализации. Нам нужно составить систему из двух векторов: \(b_1\), \(b_2\). Согласно процессу Грама-Шмидта, мы принимаем \(b_1=a_1\). Далее, \(b_2=a_2-\frac{a_2\cdot b_1}{b_1\cdot b_1}\cdot b_1\). Имеем:
\(a_2\cdot b_1=a_2 \cdot a_1=(0;i;0)\cdot (1;i;1)=0+i^2+0=i^2;\)
\(b_1\cdot b_1=a_1 \cdot a_1=|a_{1}|^{2}=1^2+i^2+1^2=i^2+2.\)

Итак, \(b_2=(0;i;0)-\frac{i^2}{i^2+2}\cdot (1;i;1)=\left( -\frac{i^2}{i^2+2}; \frac{2i}{i^2+2}; -\frac{i^2}{i^2+2} \right)\)

Окончательно имеем: \(b_1(1;i;1)\), \(b_2\left( -\frac{i^2}{i^2+2}; \frac{2i}{i^2+2}; -\frac{i^2}{i^2+2} \right)\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти ортогональный базис линейной оболочки

Сообщение Алексей »

Теперь насчёт матрицы перехода от одного базиса к иному. Рекомендую для начала глянуть информацию на этой странице. По сути, нам нужно выразить векторы \(b_1\) и \(b_2\) через векторы \(a_1\) и \(a_2\). Говоря более формально, требуется составить систему:

\(\left\{ \begin{aligned} & b_1=\alpha_{11}a_1+\alpha_{12}a_2; \\ & b_2=\alpha_{21}a_1+\alpha_{22}a_2. \end{aligned} \right.\)

Матрица перехода и составляется из коэффициентов этой системы: \(\left(\begin{matrix} \alpha_{11} &\alpha_{12} \\\alpha_{21} &\alpha_{22} \end{matrix}\right)\). Теперь имеет смысл вспомнить результаты предыдущего пункта, согласно которым \(b_1=a_1\) и \(b_2=a_2-\frac{i^2}{i^2+2}b_1=a_2-\frac{i^2}{i^2+2}a_1\). Формально это можно записать так:


\(\left\{ \begin{aligned} & b_1=1\cdot a_1+0\cdot a_2; \\ & b_2=-\frac{i^2}{i^2+2}\cdot a_1+1\cdot a_2. \end{aligned} \right.\)

Отсюда уже видно, каковы именно коэффициенты искомой матрицы.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти ортогональный базис линейной оболочки

Сообщение Алексей »

Теперь насчёт базиса в ортогональном дополнении. Нам нужно найти множество векторов, каждый из которых будет перпендикулярен как вектору \(a_1\), так и вектору \(a_2\). Если обозначить представителя искомого множества через \(x\), то должны выполняться два условия: \(a_1\perp x\) и \(a_2\perp x\). Говоря иными словами, будут верны два равенства: \(a_1\cdot x=0\) и \(a_2\cdot x=0\). Т.е., искомое множество векторов можно выявить, решив систему:

\(\left\{ \begin{aligned} & a_1\cdot x=0; \\ & a_2\cdot x=0. \end{aligned} \right.\)

Однако можно пойти иным путём, который в данной ситуации кажется мне несколько более коротким. Рассмотрим некоторый вектор \(c\) из искомого множества. Вектор \(c\) должен удовлетворять условиям \(a_1\perp c\) и \(a_2\perp c\). Т.е., в качестве вектора \(c\) можно принять векторное произведение \(a_1 \times a_2\).

Отправка.png
Отправка.png (89.02 КБ) 11229 просмотров

Тогда \(c=a_1\times a_2=(-i,0,i)\). А все множество векторов, перпендикулярных \(a_1\) и \(a_2\), равно множеству векторов, коллинеарных вектору \(c\), т.е. \(x=k\cdot c=(-ki,0,ki)\), где \(k\in R\). Итак, ортогональное дополнение есть множество \(M=\{x| x=(-ki,0,ki), k\in R \}\).

В качестве базиса ортогонального дополнения можно принять вектор \(c\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Закрыто