Системы линейных уравнении.Метод Гаусса

Действия с матрицами. Решение систем линейных алгебраических уравнений методами Крамера, Гаусса и с использованием обратной матрицы.
Anna955
Сообщения: 217
Зарегистрирован: 24 апр 2014, 17:06

Системы линейных уравнении.Метод Гаусса

Сообщение Anna955 » 26 май 2014, 09:49

$\left\{ \begin{aligned} & x_1-3x_2+4x_3=7; \\ & 4x_1+x_2-5x_3=-1; \\ & 3x_1-2x_2+2x_3=8. \end{aligned} \right.$

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1362
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Системы линейных уравнении.Метод Гаусса

Сообщение Добрый Волк » 26 май 2014, 09:58

Сразу нужно записать расширенную матрицу системы. Т.е., записать систему в виде матрицы, элементами которой есть коэффициенты перед переменными.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"


Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1362
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Системы линейных уравнении.Метод Гаусса

Сообщение Добрый Волк » 26 май 2014, 10:10

Отлично. Теперь суть в следующем: сделать так, чтобы в первом столбце (под первой строкой) обнулились элементы. Для этого от второй строки нужно вычесть 4 первых строки; а от третьей строки - вычесть 3 первых строки. Первую строку при этом мы, естественно, не меняем. Записывается это так:

$\left( \begin{array} {ccc|c}
1 & -3 & 4 & 7 \\
4 & 1 & -5 & -1 \\
3 & -2 & 2 & 8
\end{array} \right)

\begin{array} {l} \phantom{0}\\ II-4\cdot I\\ III-3II \end{array} \rightarrow


\left( \begin{array} {ccc|c}
1 & -3 & 4 & 7 \\
. & . & . & . \\
. & . & . & .
\end{array} \right)$
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Anna955
Сообщения: 217
Зарегистрирован: 24 апр 2014, 17:06

Re: Системы линейных уравнении.Метод Гаусса

Сообщение Anna955 » 26 май 2014, 10:17

Нужно все элементы первой строки умножать на -4,и все элементы второй строки умножать на -3?

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1362
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Системы линейных уравнении.Метод Гаусса

Сообщение Добрый Волк » 26 май 2014, 10:25

Нужно от второй строки вычесть 4 первых. Это можно записать отдельно, а результат потом вписать в матрицу. Например,

$II-4\cdot I=\left( \begin{array} {ccc|c} 4 & 1 & -5 & -1 \end{array} \right) - 4\cdot \left( \begin{array} {ccc|c} 1 & -3 & 4 & 7 \end{array} \right)=

\left( \begin{array} {ccc|c} 4 & 1 & -5 & -1 \end{array} \right) - \left( \begin{array} {ccc|c} 4 & -12 & 16 & 28 \end{array} \right)=
\left( \begin{array} {ccc|c} 0 & 13 & -21 & -29 \end{array} \right)$
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"


Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1362
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Системы линейных уравнении.Метод Гаусса

Сообщение Добрый Волк » 26 май 2014, 10:35

Ок. И записывается это так:
$\left( \begin{array} {ccc|c} 1 & -3 & 4 & 7 \\4 & 1 & -5 & -1 \\3 & -2 & 2 & 8\end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ II-4\cdot I\\ III-3II \end{array} \rightarrow\left( \begin{array} {ccc|c} 1 & -3 & 4 & 7 \\0 & 13 & -21 & -29 \\0 & 7 & -10 & -13\end{array} \right)$
Теперь нужно обнулить второй столбец (под второй строкой), т.е. вместо 7 должен быть 0. Поэтому начатые ранее преобразования нужно продолжить:
$\left( \begin{array} {ccc|c} 1 & -3 & 4 & 7 \\4 & 1 & -5 & -1 \\3 & -2 & 2 & 8\end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ II-4\cdot I\\ III-3II \end{array} \rightarrow\left( \begin{array} {ccc|c} 1 & -3 & 4 & 7 \\0 & 13 & -21 & -29 \\0 & 7 & -10 & -13\end{array} \right)\begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0} \\ 13\cdot III-7\cdot II \end{array} \rightarrow \left( \begin{array} {ccc|c} 1 & -3 & 4 & 7 \\0 & 13 & -21 & -29 \\. & . & . & .\end{array} \right)$
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"


Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1362
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Системы линейных уравнении.Метод Гаусса

Сообщение Добрый Волк » 26 май 2014, 10:48

Выпишите строки отдельно и поступите с ними так же, как и до этого.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Ответить