Уравнение с матрицей

Действия с матрицами. Решение систем линейных алгебраических уравнений методами Крамера, Гаусса и с использованием обратной матрицы.
Аватара пользователя
Anuto4ka
Сообщения: 27
Зарегистрирован: 20 янв 2014, 21:48

Уравнение с матрицей

Сообщение Anuto4ka » 20 янв 2014, 22:08

Помогите пожалста с заданием. Решить уравнение:
(1 2
-1 1) *Х*
-1 0
-2 4
=
-4 20
1 4

хотя бы начало подскажите

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1362
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Уравнение с матрицей

Сообщение Добрый Волк » 20 янв 2014, 22:17

Поможем, конечно :) Только сначала вопрос с условием прояснить нужно. Насколько я понял, имеется в виду вот такое уравнение:

$\begin{pmatrix} 1 &2 \\ -1&1 \end{pmatrix} \cdot X \cdot \begin{pmatrix} -1 &0 \\-2 &4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4 &20 \\ 1&4 \end{pmatrix}$

Таким было изначальное условие?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Аватара пользователя
Anuto4ka
Сообщения: 27
Зарегистрирован: 20 янв 2014, 21:48

Re: Уравнение с матрицей

Сообщение Anuto4ka » 20 янв 2014, 22:27

Да. Такое условие. С чего начать подскажите

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1362
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Уравнение с матрицей

Сообщение Добрый Волк » 21 янв 2014, 00:24

Я бы начал с того, что обозначил матрицы. Например, $A=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ -1&1 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} -1 &0 \\ -2&4 \end{pmatrix}$ и $C=\begin{pmatrix} -4 &20 \\ -1&4 \end{pmatrix}$. Тогда ваше уравнение станет таким: $A\cdot X\cdot B=C$. Дальше суть проста: нужно сделать так, чтобы в левой части осталась только матрица Х и ничего более. Для этого сначала домножим обе части уравнения на $A^{-1}$ слева:
$A^{-1}\cdot A\cdot X\cdot B=A^{-1}\cdot C$

Так как $A^{-1}\cdot A=E$ (Е - это единичная матрица), то уравнение $A^{-1}\cdot A\cdot X\cdot B=A^{-1}\cdot C$ станет таким:

$E\cdot X\cdot B=A^{-1}\cdot C$

Далее: так как $E\cdot X=X$, то уравнение $E\cdot X\cdot B=A^{-1}\cdot C$ примет вид:

$X\cdot B=A^{-1}\cdot C$

Попробуйте теперь самостоятельно домножить обе части полученного уравнения на матрицу $B^{-1}$ справа.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Аватара пользователя
Anuto4ka
Сообщения: 27
Зарегистрирован: 20 янв 2014, 21:48

Re: Уравнение с матрицей

Сообщение Anuto4ka » 21 янв 2014, 01:12

Вроде сделала. Х=A^-1*С*В^-1. Так?

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1362
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Уравнение с матрицей

Сообщение Добрый Волк » 21 янв 2014, 02:11

Теперь нужно найти $A^{-1}$ и $B^{-1}$. Посмотрите как решается пример №2 на этой странице.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Аватара пользователя
Anuto4ka
Сообщения: 27
Зарегистрирован: 20 янв 2014, 21:48

Re: Уравнение с матрицей

Сообщение Anuto4ka » 21 янв 2014, 10:19

Вроде получилось.
A^-1=1/3 -2/3
1/3 1/3

B^-1=-1 0
-1/2 1/4

Так?

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1362
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Уравнение с матрицей

Сообщение Добрый Волк » 21 янв 2014, 10:34

Именно так. Только я бы записал найденные матрицы в несколько иной форме:

$A^{-1}=\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix} 1 &-2 \\1 &1 \end{pmatrix} \;\; B^{-1}=-\frac{1}{4}\cdot \begin{pmatrix} 4 &0 \\2 &-1 \end{pmatrix}$

И тогда получим:

$X=\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix} 1 &-2 \\1 &1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -4 &20 \\1 &4 \end{pmatrix}\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)\cdot \begin{pmatrix} 4 &0 \\2 &-1 \end{pmatrix}$

Это выражение можно несколько упростить, если перемножить дроби, т.е. учесть $\frac{1}{3}\cdot \left( - \frac{1}{4} \right)=-\frac{1}{12}$:

$X=-\frac{1}{12}\cdot \begin{pmatrix} 1 &-2 \\1 &1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -4 &20 \\1 &4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 4 &0 \\2 &-1 \end{pmatrix}$
А дальше останется только перемножить матрицы.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Аватара пользователя
Anuto4ka
Сообщения: 27
Зарегистрирован: 20 янв 2014, 21:48

Re: Уравнение с матрицей

Сообщение Anuto4ka » 21 янв 2014, 10:39

Тут немного сложновато :oops: У меня в конспекте есть пример с двумя матрицами но непонятно написан. Покажите пожалуйста как их правильно умножить

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1362
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Уравнение с матрицей

Сообщение Добрый Волк » 21 янв 2014, 10:59

С умножением тут несложно. Сначала перемножим матрицы $\begin{pmatrix} 1 &-2 \\1 &1 \end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix} -4 &20 \\1 &4 \end{pmatrix}$.

Сначала поработаем с первой строкой матрицы №1 и первым столбцом матрицы №2. Перемножим их соответствующие элементы и сложим результаты:
$1\cdot(-4)+(-2)\cdot 1=-6$

По сути, мы нашли первый элемент матрицы, которую нужно получить в результате, т.е.

$\begin{pmatrix} 1 &-2 \\1 &1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -4 &20 \\1 &4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -6 &* \\ * &* \end{pmatrix}$
Звёздочками обозначены те элементы, которые ещё предстоит найти.

Теперь перемножим элементы первой строки матрицы №1 и второго столбца матрицы №2, сложив полученные результаты:

$1\cdot 20+(-2)\cdot 4=-12$

Теперь у нас есть уже два элемента матрицы-ответа:
$\begin{pmatrix} 1 &-2 \\1 &1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -4 &20 \\1 &4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -6 & -12 \\ * &* \end{pmatrix}$

По такому же принципу заполняется и вторая строка.

Перемножим элементы второй строки матрицы №1 и первого столбца матрицы №2, сложив полученные результаты:

$1\cdot(-4)+1\cdot1=-3$

Перемножим элементы второй строки матрицы №1 и второго столбца матрицы №2, сложив полученные результаты:

$1\cdot 20+1\cdot 4=24$

В итоге получаем:

$\begin{pmatrix} 1 &-2 \\1 &1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -4 &20 \\1 &4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -6 & -12 \\ -3 & 24 \end{pmatrix}$

Тогда для матрицы Х будем иметь:

$X=-\frac{1}{12}\cdot \begin{pmatrix} 1 &-2 \\1 &1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -4 &20 \\1 &4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 4 &0 \\2 &-1 \end{pmatrix}=\\= -\frac{1}{12} \begin{pmatrix} -6 & -12 \\ -3 & 24 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 &0 \\2 &-1 \end{pmatrix}$

Теперь Вам останется только перемножить матрицы $\begin{pmatrix} -6 & -12 \\ -3 & 24 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 &0 \\2 &-1 \end{pmatrix}$.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Ответить