Метод Гаусса

Действия с матрицами. Решение систем линейных алгебраических уравнений методами Крамера, Гаусса и с использованием обратной матрицы.
shmatrica

Метод Гаусса

Сообщение shmatrica » 10 ноя 2016, 23:41

Ребята, нужна помощь. Нужно решить методом Гаусса
1 -2 -1 3 | 5
4 1 1 2 | 13
7 4 3 1 | 21
2 5 3 -4 | 3
Я решал по примеру отсюда и в итоге 2 строки стали нулевыми, осталось:
1 -2 -1 3 |3
0 9 5 -10 |-7
Что дальше или решений нет?
Заранее спасибо :)

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1362
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Метод Гаусса

Сообщение Добрый Волк » 11 ноя 2016, 11:33

Матрицу вы преобразовали верно. Далее есть два пути: перейти к системе или же дорешать в матричной форме. Я предпочитаю именно второй вариант, о котором писал в примере №1 на этой странице. Перенося за черту третий и четвёртый столбцы (они соответствуют переменным [tex]x_3[/tex] и [tex]x_4[/tex]), получим новую матрицу. Разумеется, стоит учесть, что такой "перенос за черту" означает перенос переменных в правые части равенств, поэтому знаки переносимых элементов изменятся на противоположные:
[tex]\left(\begin{array} {cccc|c} 1 & -2 & -1 & 3 & 3\\0 & 9 & 5 & -10 & -7\end{array}\right)\rightarrow

\left(\begin{array} {cc|ccc} 1 & -2 & 3 & 1 & -3\\0 & 9 & -7 & -5 & 10\end{array}\right)[/tex]
После этого делим вторую строку на 9 и следующим действием прибавляем к первой строке удвоенную вторую:
[tex]\left(\begin{array} {cc|ccc} 1 & -2 & 3 & 1 & -3\\0 & 9 & -7 & -5 & 10\end{array}\right)
\begin{array} {l} \phantom{0} \\ II:9 \end{array} \rightarrow
\left(\begin{array} {cc|ccc} 1 & -2 & 3 & 1 & -3\\0 & 1 & -7/9 & -5/9 & 10/9\end{array}\right)
\begin{array} {l} I+2\cdot{II} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow\ldots[/tex]
Далее останется лишь записать ответ.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"


shmatrica

Re: Метод Гаусса

Сообщение shmatrica » 11 ноя 2016, 16:43

Добрый Волк писал(а):Матрицу вы преобразовали верно. Далее есть два пути: перейти к системе или же дорешать в матричной форме. Я предпочитаю именно второй вариант, о котором писал в примере №1 на этой странице. Перенося за черту третий и четвёртый столбцы (они соответствуют переменным [tex]x_3[/tex] и [tex]x_4[/tex]), получим новую матрицу. Разумеется, стоит учесть, что такой "перенос за черту" означает перенос переменных в правые части равенств, поэтому знаки переносимых элементов изменятся на противоположные:
[tex]\left(\begin{array} {cccc|c} 1 & -2 & -1 & 3 & 3\\0 & 9 & 5 & -10 & -7\end{array}\right)\rightarrow

\left(\begin{array} {cc|ccc} 1 & -2 & 3 & 1 & -3\\0 & 9 & -7 & -5 & 10\end{array}\right)[/tex]
После этого делим вторую строку на 9 и следующим действием прибавляем к первой строке удвоенную вторую:
[tex]\left(\begin{array} {cc|ccc} 1 & -2 & 3 & 1 & -3\\0 & 9 & -7 & -5 & 10\end{array}\right)
\begin{array} {l} \phantom{0} \\ II:9 \end{array} \rightarrow
\left(\begin{array} {cc|ccc} 1 & -2 & 3 & 1 & -3\\0 & 1 & -7/9 & -5/9 & 10/9\end{array}\right)
\begin{array} {l} I+2\cdot{II} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow\ldots[/tex]
Далее останется лишь записать ответ.
А ответ в матричном виде оставить?

Получилось:

1 0 | 13/9 -1/9 -7/9
0 1 | -7/9 -5/9 10/9

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1362
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Метод Гаусса

Сообщение Добрый Волк » 12 ноя 2016, 11:31

У меня получился несколько иной результат:
[tex]\left(\begin{array} {cc|ccc} 1 & 0 & 31/9 & -1/9 & -7/9\\0 & 1 & -7/9 & -5/9 & 10/9\end{array}\right)[/tex]
Ответ записываем в виде системы. Например, из первой строки полученной матрицы имеем: [tex]x_1=\frac{31}{9}-\frac{1}{9}x_3-\frac{7}{9}x_4[/tex]. Аналогично из второй строки записываем [tex]x_2[/tex]. Таким образом, переменные [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex] будут связанными, а переменные [tex]x_3[/tex], [tex]x_4[/tex], [tex]x_5[/tex] - свободными.
[tex]\left\{\begin{aligned}&x_1=\frac{31}{9}-\frac{1}{9}x_3-\frac{7}{9}x_4;\\&x_2=\ldots;\\&x_3\in{R},\,x_4\in{R},\,x_5\in{R}.\end{aligned}\right.[/tex]
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

shmatrica

Re: Метод Гаусса

Сообщение shmatrica » 13 ноя 2016, 14:38

А, да, нашел ошибку, спасибо.
А разве в этой системе есть X5?

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1362
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Метод Гаусса

Сообщение Добрый Волк » 13 ноя 2016, 22:39

shmatrica писал(а):А разве в этой системе есть X5?
Нету - это я увлекся немного, перечисляя переменные :) Переменной [tex]x_5[/tex] там не будет, а всё остальное остаётся в силе.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Ответить