Проверить, что системы векторов {e1, e2, e3, e4}, {f1, f2, f3, f4} являются базисами, если да, то найти матрицу перехода

Действия с матрицами. Решение систем линейных алгебраических уравнений методами Крамера, Гаусса и с использованием обратной матрицы.
Михаил175
Сообщения: 2
Зарегистрирован: 01 май 2017, 12:01

Проверить, что системы векторов {e1, e2, e3, e4}, {f1, f2, f3, f4} являются базисами, если да, то найти матрицу перехода

Сообщение Михаил175 » 01 май 2017, 12:03

e1 = (0; 1; −3; −1); e2 = (1; −3; 1; 1); e3 = (1; 2; 0; −1); e4 = (−2; −1; 0; 1);
f1 = (0; 3; 0; −3); f2 = (1; −1; 0; −1); f3 = (−2; 1; 1; −1); f4 = (−2; −1; 0; 2).

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1362
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Проверить, что системы векторов {e1, e2, e3, e4}, {f1, f2, f3, f4} являются базисами, если да, то найти матрицу пере

Сообщение Добрый Волк » 01 май 2017, 22:55

Эту задачу можно решить в несколько шагов.
  1. Составляем матрицу $A
    =\left( \begin{array} {cccc} 0 & 1 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 2 & -1 \\ -3 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \end{array} \right)$ из координат векторов $e_1$, $e_2$, $ e_3$, $e_4$, записанных по столбцам.
  2. Записываем матрицу $B$, составленную аналогичным предыдущему пункту образом из координат векторов $f_1$, $f_2$, $f_3$, $f_4$.
  3. Находим определители двух записанных выше матриц (см пример №2 тут) и показываем, что они не равны нулю, т.е. $\Delta{A}\neq{0}$ и $\Delta{B}\neq{0}$. Отсюда следует вывод, что системы векторов $e_1$, $e_2$, $e_3$, $e_4$ и $f_1$, $f_2$, $f_3$, $f_4$ являются линейно независимыми, а поэтому образуют базисы.
  4. Находим обратную матрицу $A^{-1}$. Как это сделать, смотрите пример №4 на этой странице.
  5. Матрица перехода $C$ находится по формуле $C=A^{-1}\cdot{B}$. Как умножаются матрицы, вы можете глянуть на этой странице.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Ответить