построить линию

Векторы, прямые, плоскости, кривые второго порядка, поверхности.
Ольга
Сообщения: 1
Зарегистрирован: 27 фев 2014, 14:56

построить линию

Сообщение Ольга »

есть уравнение 4x^2-20x+3y-5=0. как его построить?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: построить линию

Сообщение Алексей »

В данном случае у вас есть уравнение кривой второго порядка. Чтобы эту кривую построить, её нужно привести к канонической форме. Словосочетание "привести к канонической форме" означает, что нужно подогнать заданное выражение под одно из "эталонных" уравнений, которые определяют кривые второго порядка. Например, если удалось подогнать заданное уравнение под вид \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\), значит, мы имеем дело с эллипсом. Если же исходное выражение подогнали под вид \(y^2=2px\), значит заданное уравнение определяет параболу. Короче говоря, исходное выражение надо немного преобразовать, после чего мы сможем назвать вид этой кривой и построить её.

Для начала выделим полный квадрат в левой части уравнения. Вынесем 4 за скобки и немного преобразуем исходное выражение:

\(4\cdot (x^2-5x)+3y-5=0; \;\; 4\cdot\left(x^2-2\cdot x\cdot \frac{5}{2}\right)+3y-5=0\)

Теперь в скобках прибавим и вычтем дробь \(\frac{25}{4}\):

\(4\cdot\left(x^2-2\cdot x\cdot \frac{5}{2}+\frac{25}{4}-\frac{25}{4}\right)+3y-5=0\)

Что нам это даст? Дело в том, что выражение \(x^2-2\cdot x\cdot \frac{5}{2}+\frac{25}{4}=x^2-2\cdot x\cdot \frac{5}{2}+\left(\frac{5}{2}\right)^2\) имеет вид \(a^2-2ab+b^2\), где \(a=x\), \(b=\frac{5}{2}\). Однако \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\), поэтому \(x^2-2\cdot x\cdot \frac{5}{2}+\left(\frac{5}{2}\right)^2=\left(x-\frac{5}{2} \right)^2\). Учитывая это, полученное выше выражение перепишем так:

\(4\cdot\left(\left( x-\frac{5}{2} \right)^2-\frac{25}{4}\right)+3y-5=0\)

Теперь попробуйте раскрыть скобки (только скобку \(\left(x-\frac{5}{2} \right)^2\) не трогайте) и перенести все числа и \(y\) в правую часть равенства.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить