Привести уравнение кривой второго порядка к канонич-му виду

Векторы, прямые, плоскости, кривые второго порядка, поверхности.
Виктория24
Сообщения: 81
Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56

Привести уравнение кривой второго порядка к канонич-му виду

Сообщение Виктория24 »

Привести уравнение кривой второго порядка f(x,y)=0 к каноническому виду и найти точки пересечения её с прямой.
уравнение кривой x^2+2*y^2-12*y+10=0, уравнение прямой x+y-3=0

x^2+2*y^2-12*y+10=0
x^2+2*(y^2-6*y+9)-18+10=0
x^2+2*(y-3)^2-8=0
x^2+2*(y-3)^2=8
(x^2)/2+(y-3)^2=4
(x^2)/8+((y-3)^2)/4=1 эллипс

нужно теперь перенести начало координат, а я не очень поняла как это сделать.
найдём точки пересечения кривой и прямой. для этого решим систему уравнений:
(x^2)/8+((y-3)^2)/4=1
x+y-3=0

корни получились у1=(18-sqrt96)/6
y2=(18+sqrt96)/6
x1=3-(18-sqrt96)/6
x2=3-(18+sqrt96)/6 какие-то совсем страшные
и необходимо построить график, у меня получился вот такой

Помогите разобраться :(
Вложения
uhfabr.png
uhfabr.png (8.9 КБ) 14370 просмотров
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Привести уравнение кривой второго порядка к канонич-му в

Сообщение Алексей »

Поможем :) Начнём с того, что уравнение вы преобразовали совершенно правильно. Т.е., я имею в виду преобразование \(x^2+2y^2-12y+10=0\) к виду \(\frac{x^2}{8}+\frac{(y-3)^2}{4}=1\). Кстати, чтоб проверить это, я сначала просмотрел ваше решение (и убедился, что оно на первый взгляд верное), а потом просто построил в AGrapher две линии по уравнениям \(x^2+2y^2-12y+10=0\) и \(\frac{x^2}{8}+\frac{(y-3)^2}{4}=1\). Линии совпали, - значит, всё сделано верно.
Сейчас проверю пересечение эллипса с прямой, а потом пару фраз насчёт переноса координат.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Привести уравнение кривой второго порядка к канонич-му в

Сообщение Алексей »

Теперь насчёт точки пересечения эллипса и прямой. Опять-таки, система уравнений здесь действительно необходима. В вашем случае есть два пути. Рассмотреть систему \(\left\{\begin{aligned} & x^2+2y^2-12y+10=0;\\& x+y-3=0. \end{aligned}\right.\) или же систему \(\left\{\begin{aligned} &\frac{x^2}{8}+\frac{(y-3)^2}{4}=1;\\ & x+y-3=0. \end{aligned}\right.\). Честно говоря, в общем случае я бы избрал первый вариант, но уравнение прямой \(x+y-3=0\) очень удачно вписывается в уравнение эллипса, поэтому обратимся к системе

\(\left\{\begin{aligned} &\frac{x^2}{8}+\frac{(y-3)^2}{4}=1;\\&x+y-3=0. \end{aligned}\right.\)

Выражая \(y=3-x\) из второго уравнения и подставляя в первое уравнение, получим:

\(\frac{x^2}{8}+\frac{(3-x-3)^2}{4}=1;\\ \frac{x^2}{8}+\frac{x^2}{4}=1; \\ \frac{x^2}{8}+\frac{2x^2}{8}=1;\\ \frac{3x^2}{8}=1; \;\; x^2=\frac{8}{3}.\)

Ну и, соответственно, из полученного уравнения имеем два значения х, т.е. \(x_1=-\sqrt{\frac{8}{3}}=-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\) и \(x_2=\sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\). Для вторых координат точек пересечения будем иметь: \(y_1=3-x_1=3+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\) и \(y_2=3-x_2=3-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\).

Короче говоря, есть две точки пересечения эллипса и прямой: \(\left(-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}};\; 3+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)\) и \(\left(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}};\; 3-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)\). Если есть вопросы - давайте :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Виктория24
Сообщения: 81
Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56

Re: Привести уравнение кривой второго порядка к канонич-му в

Сообщение Виктория24 »

по точкам пересечения вопросов нет, а что по поводу переноса начала координат?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Привести уравнение кривой второго порядка к канонич-му в

Сообщение Алексей »

Виктория24 писал(а):по точкам пересечения вопросов нет, а что по поводу переноса начала координат?
Насчёт систем координат... А вам сама идея переноса системы координат понятна или всё же лучше её проиллюстрировать?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Привести уравнение кривой второго порядка к канонич-му в

Сообщение Алексей »

Ок. Напишу пару вводных слов, чтобы была ясна сама идея. Дело в том, что системы координат - это как язык. Например, вы можете назвать "яблоко" на русском, английском, немецком и иных языках, но от этого яблоко не перестанет быть яблоком :) Только системы координат - это язык, который описывает положение точки в пространстве. Системы координат могут меняться, но точка будет на месте. Поясню на примере. Вот, допустим, у меня была точка \(M(3;4)\) в обычной декартовой системе координат Oxy:

Изображение

А теперь я подвину ось Ox на две единицы вверх (при этом получу новую ось Ox'), а ось Oy - на единицу влево (при этом получу новую ось Oy'). Синим цветом показана старая система координат Oxy. Точку М, заметьте, я не двигал, но координаты её изменились:

Изображение

Теперь, в новой системе Ox'y' координаты точки M такие: (4;2).

А линия, и эллипс в том числе - это множество точек, связанных неким условием. Вопрос лишь в том, в какой системе координат уравнение, которое выражает это условие, будет наиболее простым.

Если тут всё очевидно, то перейдём к эллипсу. Если есть вопросы - давайте :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Привести уравнение кривой второго порядка к канонич-му в

Сообщение Алексей »

Отлично. Тогда насчёт эллипса. Дело в том, что наиболее простым (или каноническим) уравнение эллипса будет в такой системе координат, в которой центр эллипса совпадает с началом координат (точкой (0;0)); большая ось (т.е. \(A_1A_3\)) лежит на прямой Ох; фокусы (\(F_1\) и \(F_2\)) симметричны относительно начала координат:

Изображение

В вложении я добавил документ с краткими характеристиками кривых второго порядка: эллипса, гиперболы и параболы. Но вернёмся к эллипсу. Итак, возьмем эллипс \(\frac{x^2}{8}+\frac{(y-3)^2}{4}=1\). Нужно перенести оси координат таким образом, чтобы уравнение его стало каноническим. Т.е., чтобы уравнение приняло вид \(\frac{x'^2}{8}+\frac{y'^2}{4}=1\). Заметьте, что внешне мы всего лишь заменили \(x'=x\) и \(y'=y-3\). Но внутренняя "кухня" такой замены - это перенос системы координат. И если в старой системе координат центр эллипса был в точке (0;3), то в новой системе координаты этой точки станут такими: \(x'=0\), \(y'=y-3=3-3=0\). Т.е. в новой системе координат центр эллипса совпал с началом координат, точкой (0;0). Сейчас попробую это изобразить в AGrapher.
Вложения
Кривые.rar
(61.21 КБ) 481 скачивание
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Виктория24
Сообщения: 81
Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56

Re: Привести уравнение кривой второго порядка к канонич-му в

Сообщение Виктория24 »

ну вот теперь всё прояснилось :) благодарю
Ответить