помогите решить задачи про вектора

Векторы. Прямые и плоскости трёхмерного пространства. Поверхности второго порядка.
sergeyzenit
Сообщения: 4
Зарегистрирован: 12 янв 2017, 00:12

помогите решить задачи про вектора

Сообщение sergeyzenit » 12 янв 2017, 00:50

Задач у меня скопилось много, сам решить не могу буду пока выкладывать сюда по одной.
1. Векторное произведение i * k равно: 1) 1; 2) 0; 3) j; 4) -j
по учебнику я нашел в теме "декартова прямоугольная система координат" | I |=| j |=| k |=0, полчается, что ответ вариант 2 и 3. Или инадо смотреть другую тему "векторное произведение векторов" но там я ничего похожего не нашел.
2. Если с - векторное произведение вектора а на вектор в и а параллельно в, то а, в, с: 1) линейно независимы, 2) линейно зависимы, 3) правая тройка; 4) некомпланарны.
Я так понимаю, что они компланарны, значит получается линейно зависимы, но как тут можно определить правая тройка или левая тройка?
Помогите мне пож-та разобраться с этими двумя задачами правильно я решил или нет?

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1347
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: помогите решить задачи про вектора

Сообщение Добрый Волк » 12 янв 2017, 05:49

sergeyzenit писал(а):1. Векторное произведение i * k равно: 1) 1; 2) 0; 3) j; 4) -j
по учебнику я нашел в теме "декартова прямоугольная система координат" | I |=| j |=| k |=0, полчается, что ответ вариант 2 и 3. Или инадо смотреть другую тему "векторное произведение векторов" но там я ничего похожего не нашел.
Давайте начнем с задания №1. У вас в задании говорится о "векторном произведении", т.е. смотреть надо именно тему про векторное произведение :) Дело в том, что результатом векторного произведения является вектор, а не число, поэтому вариантами ответа могут быть №3 или №4, но никак не №1 или №2. Вопрос в том - какой именно вектор будет результатом операции [tex]\bar{i}\times\bar{k}[/tex].
Чтобы ответить на этот вопрос, если два пути. Путь первый (он же, как мне кажется, самый разумный) - посмотреть определение векторного произведения. Путь второй, не совсем удачный, с моей точки зрения - использовать формулу для вычисления векторного произведения. Так как [tex]\bar{i}(1;0;0)[/tex] и [tex]\bar{k}(0;0;1)[/tex], то можно использовать стандартную формулу для вычисления векторного произведения через определитель.
sergeyzenit писал(а):2. Если с - векторное произведение вектора а на вектор в и а параллельно в, то а, в, с: 1) линейно независимы, 2) линейно зависимы, 3) правая тройка; 4) некомпланарны.
Я так понимаю, что они компланарны, значит получается линейно зависимы, но как тут можно определить правая тройка или левая тройка?
Ответ на ваш вопрос упирается в результат смешанного произведения [tex]\bar{a}\times\bar{b}\cdot\bar{c}[/tex]. Есть три варианта:
  1. [tex]\bar{a}\times\bar{b}\cdot\bar{c}<0[/tex]
  2. [tex]\bar{a}\times\bar{b}\cdot\bar{c}=0[/tex]
  3. [tex]\bar{a}\times\bar{b}\cdot\bar{c}>0[/tex]
В втором случае векторы [tex]\bar{a}[/tex], [tex]\bar{b}[/tex], [tex]\bar{c}[/tex] компланарны, а посему линейно зависимы. В первом случае векторы [tex]\bar{a}[/tex], [tex]\bar{b}[/tex], [tex]\bar{c}[/tex] образуют левую тройку, а в третьем случае векторы [tex]\bar{a}[/tex], [tex]\bar{b}[/tex], [tex]\bar{c}[/tex] образуют правую тройку.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

sergeyzenit
Сообщения: 4
Зарегистрирован: 12 янв 2017, 00:12

Re: помогите решить задачи про вектора

Сообщение sergeyzenit » 12 янв 2017, 20:05

Добрый Волк писал(а):
sergeyzenit писал(а):1. Векторное произведение i * k равно: 1) 1; 2) 0; 3) j; 4) -j
по учебнику я нашел в теме "декартова прямоугольная система координат" | I |=| j |=| k |=0, полчается, что ответ вариант 2 и 3. Или инадо смотреть другую тему "векторное произведение векторов" но там я ничего похожего не нашел.
Давайте начнем с задания №1. У вас в задании говорится о "векторном произведении", т.е. смотреть надо именно тему про векторное произведение :) Дело в том, что результатом векторного произведения является вектор, а не число, поэтому вариантами ответа могут быть №3 или №4, но никак не №1 или №2. Вопрос в том - какой именно вектор будет результатом операции [tex]\bar{i}\times\bar{k}[/tex].
Чтобы ответить на этот вопрос, если два пути. Путь первый (он же, как мне кажется, самый разумный) - посмотреть определение векторного произведения. Путь второй, не совсем удачный, с моей точки зрения - использовать формулу для вычисления векторного произведения. Так как [tex]\bar{i}(1;0;0)[/tex] и [tex]\bar{k}(0;0;1)[/tex], то можно использовать стандартную формулу для вычисления векторного произведения через определитель.
sergeyzenit писал(а):2. Если с - векторное произведение вектора а на вектор в и а параллельно в, то а, в, с: 1) линейно независимы, 2) линейно зависимы, 3) правая тройка; 4) некомпланарны.
Я так понимаю, что они компланарны, значит получается линейно зависимы, но как тут можно определить правая тройка или левая тройка?
Ответ на ваш вопрос упирается в результат смешанного произведения [tex]\bar{a}\times\bar{b}\cdot\bar{c}[/tex]. Есть три варианта:
  1. [tex]\bar{a}\times\bar{b}\cdot\bar{c}<0[/tex]
  2. [tex]\bar{a}\times\bar{b}\cdot\bar{c}=0[/tex]
  3. [tex]\bar{a}\times\bar{b}\cdot\bar{c}>0[/tex]
В втором случае векторы [tex]\bar{a}[/tex], [tex]\bar{b}[/tex], [tex]\bar{c}[/tex] компланарны, а посему линейно зависимы. В первом случае векторы [tex]\bar{a}[/tex], [tex]\bar{b}[/tex], [tex]\bar{c}[/tex] образуют левую тройку, а в третьем случае векторы [tex]\bar{a}[/tex], [tex]\bar{b}[/tex], [tex]\bar{c}[/tex] образуют правую тройку.

Спасибо большое. Потом выложу еще задачи

sergeyzenit
Сообщения: 4
Зарегистрирован: 12 янв 2017, 00:12

Re: помогите решить задачи про вектора

Сообщение sergeyzenit » 22 янв 2017, 19:05

Вот еще:
1. Если не нулевые векторы à и b ортогональны, то из следующих утверждений а) а*b =0; б) Прrb a=0; в) axb =0; г) а^2+b^2-(a+b)^2=0
Верны только: 1)а и б; 2)a и в; 3)а и г; 4)а, б и в; 5)а, б и г

2. Если векторы е1, е2 образуют ортонормированный базис на плоскости, то:
1) е1*е2=1, |е1|=|е2|=1
2) е1*е2=0, |е1|=|е2|=0
3) е2=ke1, e1^2+e2^2=1
4) e1*e2=e1^2=e2^2=1

Заранее спасибо

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1347
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: помогите решить задачи про вектора

Сообщение Добрый Волк » 22 янв 2017, 20:49

По №1 - посмотрите в сторону скалярного произведения, там есть нудные вам свойства.
По №2 - есть определение ортонормированного базиса, оно включает в себя свойства, накладываемые на длины векторов и угол меж ними, - вот эти свойства и используйте.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

sergeyzenit
Сообщения: 4
Зарегистрирован: 12 янв 2017, 00:12

Re: помогите решить задачи про вектора

Сообщение sergeyzenit » 24 янв 2017, 00:42

Добрый Волк писал(а):По №1 - посмотрите в сторону скалярного произведения, там есть нудные вам свойства.
По №2 - есть определение ортонормированного базиса, оно включает в себя свойства, накладываемые на длины векторов и угол меж ними, - вот эти свойства и используйте.
В первой задаче мне не понятен вариант г - ведь если скобки раскрыть, то ноль будет в любом случае: а^2+b^2-(a+b)^2=a^2+b^2-a^2-b^2=0. Так? Значит ответ получается вариант 5, т.к. вариант б тоже по свойствам должен быть равен нулю: a*b=|b|*Прrba=0, Следовательно если b какое то число, то Прrba обязательно должно равняться нулю иначе в ответе нуля не получится. Или я в чем-то ошибаюсь?
Во второй задаче получается что если каждый вектор должен равняться единице, то 1 и 4 вариант это 100%, а варианты 2 и 3 получается что не подходят. Так?
Просто я все уточняю в чем не уверен, т.к. мне каждая ошибка будет дорого стоить.

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1347
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: помогите решить задачи про вектора

Сообщение Добрый Волк » 24 янв 2017, 09:34

sergeyzenit писал(а): В первой задаче мне не понятен вариант г - ведь если скобки раскрыть, то ноль будет в любом случае: а^2+b^2-(a+b)^2=a^2+b^2-a^2-b^2=0. Так? Значит ответ получается вариант 5, т.к. вариант б тоже по свойствам должен быть равен нулю: a*b=|b|*Прrba=0, Следовательно если b какое то число, то Прrba обязательно должно равняться нулю иначе в ответе нуля не получится. Или я в чем-то ошибаюсь?
Начну с вопроса по первой задаче, потом отпишу по второй. Скобки вы раскрываете несколько странно :) Ноль в варианте г) будет, это верно, но цепочка вывода будет иной. Давайте подойдём к раскрытию скобки [tex]\left(\bar{a}+\bar{b}\right)^2[/tex] формально. При раскрытии скобки учтём, что [tex]\bar{a}\cdot\bar{b}=\bar{b}\cdot\bar{a}[/tex].


[tex]\left(\bar{a}+\bar{b}\right)^2=\left(\bar{a}+\bar{b}\right)\cdot\left(\bar{a}+\bar{b}\right)=\bar{a}^2+\bar{a}\cdot\bar{b}+\bar{b}\cdot\bar{a}+\bar{b}^2=\bar{a}^2+2\cdot\bar{a}\cdot\bar{b}+\bar{b}^2[/tex]

А отсюда уже, используя свойство ортогональных векторов [tex]\bar{a}\cdot\bar{b}=0[/tex], будем иметь, что [tex]\left(\bar{a}+\bar{b}\right)^2=\bar{a}^2+\bar{b}^2[/tex].

Ну и при раскрытии скобок в выражении [tex]\bar{a}^2+\bar{b}^2-(\bar{a}+\bar{b})^2[/tex] получим ноль.

Теперь насчёт проекции. Тут тоже можно подойти формально:
[tex]Пр_{\bar{b}}\bar{a}=\frac{\bar{a}\cdot\bar{b}}{|\bar{b}|}=\frac{0}{|\bar{b}|}=0[/tex]
Разумеется, записанная выше строка верна лишь при условии [tex]|\bar{b}|\neq{0}[/tex].
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Ответить