Провести плоскость через прямую и точку

Векторы, прямые, плоскости, кривые второго порядка, поверхности.
lecture
Сообщения: 29
Зарегистрирован: 03 окт 2014, 15:30

Провести плоскость через прямую и точку

Сообщение lecture »

Задача:
провести плоскость через прямую (x-1) / 1= (y+1) / 2 = (z+1) / (-1) и точку М­0 ( 2; 0; –1 ).
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Провести плоскость через прямую и точку

Сообщение Алексей »

Есть формула, согласно которой если векторы \(\overline{a}(a_x,a_y,a_z)\) и \(\overline{b}(b_x,b_y,b_z)\) параллельны плоскости, и плоскость проходит через точку \(M_0(x_0,y_0,z_0)\), то уравнение плоскости таково:

\(\left| \begin{array} {ccc} x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{array} \right|=0\)

Теперь вернёмся к задаче: плоскость проходит через точку \(M_0(2;0;-1)\). Вектор \(\overline{a}(1;2;-1)\) является направляющим вектором этой прямой, а сама прямая проходит через точку \(A(1;-1;-1)\). Если тут вопросов нет, откуда мы получили эту точку и этот вектор, то можно пойти далее :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
lecture
Сообщения: 29
Зарегистрирован: 03 окт 2014, 15:30

Re: Провести плоскость через прямую и точку

Сообщение lecture »

До этого момента все конечно понятно.
А дальше?
Уравнение парал прямой?
Именно здесь и застопорилась...
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Провести плоскость через прямую и точку

Сообщение Алексей »

А дальше осталось пару действий. Так как вектор \(\overline{a}(1;2;-1)\) - направляющий вектор прямой, то этот же вектор будет параллелен плоскости. Кроме того, вектор \(\overline{AM_0}(1;1;0)\) также будет параллелен плоскости. Мы имеем два вектора (\(\overline{a}(1;2;-1)\), \(\overline{AM_0}(1;1;0)\)) и точку \(M_0(2;0;-1)\). Собственно, для формулы больше ничего и не нужно.

\(\left| \begin{array} {ccc} x-2 & y-0 & z-(-1) \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right|=0;\\\left| \begin{array} {ccc} x-2 & y & z+1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right|=0.\)

Кстати сказать, вместо точки \(M_0\) мы с тем же успехом могли взять и точку \(A\).

Чтобы раскрыть определитель, лучше всего разложить его по первой строке:

\((x-2)\cdot \left|\begin{array} {cc} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right|-y\cdot \left|\begin{array} {cc} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right|+(z+1)\cdot \left|\begin{array} {cc} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right|=0.\)

Подробнее про разложение определителя по строке (столбцу) при желании можно почитать тут. (гляньте пример №1).

Чтобы раскрыть определители второго порядка применяется формула №1 на этой странице. Например, по этой формуле мы получим:

\(\left|\begin{array} {cc} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right|=2\cdot 0-(-1)\cdot 1=1.\)

Точно так же раскрываются и два иных определителя. Полученное после этого равенство и есть искомое уравнение плоскости.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
lecture
Сообщения: 29
Зарегистрирован: 03 окт 2014, 15:30

Re: Провести плоскость через прямую и точку

Сообщение lecture »

Ответ будет:

Данное равенство и есть искомое уравнение плоскости:
(x-2)•1-y•1+(z+1)•(-1)=0
x-y-z-3=0

А график нужен? Ведь условие задачи" Провести плоскость через прямую и точку".
Я попробовала построить с помощью онлайн программы и у меня получилась красивая цветная плоскость :D
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Провести плоскость через прямую и точку

Сообщение Алексей »

Ответ у вас верный, я перепроверил в маткаде и тоже получилось \(x-y-z-3=0\). Строить не нужно, так как в подобных задачах само уравнение является ответом. Но сугубо для наглядности можете нарисовать, конечно :) Однако в ответ записывается лишь уравнение.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
lecture
Сообщения: 29
Зарегистрирован: 03 окт 2014, 15:30

Re: Провести плоскость через прямую и точку

Сообщение lecture »

Спасибо большое!
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Провести плоскость через прямую и точку

Сообщение Алексей »

Обращайтесь, если что :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить