Сложный интеграл с экспонентой

Непосредственное интегрирование, замена переменной, интегрирование тригонометрических функций, интегрирование иррациональностей и так далее.
Triblaid

Сложный интеграл с экспонентой

Сообщение Triblaid » 29 ноя 2016, 07:42

Дан интеграл [tex]\frac{dx}{e^{2x}+e^{x}}[/tex] поможете как можно заменить? Чтобы начать решать?

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1292
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Сложный интеграл с экспонентой

Сообщение Добрый Волк » 29 ноя 2016, 10:09

Замена тут такая: [tex]t=e^x[/tex]. Отсюда имеем: [tex]x=\ln{t}[/tex], [tex]dx=\frac{dt}{t}[/tex]. И интеграл теперь станет таким:
[tex]\int\frac{dx}{e^{2x}+e^x}=\int\frac{dt}{t\cdot\left(t^2+t\right)}=\int\frac{dt}{t^2\cdot\left(t+1\right)}[/tex]
А далее применяем стандартные методы интегрирования рациональных функций:
[tex]\frac{1}{t^2\cdot\left(t+1\right)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t^2}+\frac{C}{t+1}=\ldots[/tex]
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"


Triblaid

Re: Сложный интеграл с экспонентой

Сообщение Triblaid » 29 ноя 2016, 11:18

А если будет [tex]\frac{dx}{3e^{2x}+e^{x}}[/tex] будет тоже самое? [tex]\frac{dt}{t^{2}*(3t+1)}?[/tex]

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1292
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Сложный интеграл с экспонентой

Сообщение Добрый Волк » 29 ноя 2016, 19:15

В принципе, да. При желании вы можете [tex]\frac{1}{3}[/tex] вынести за знак интеграла, но это не является обязательным.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Ответить

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и 1 гость