Сложный интеграл с экспонентой

Непосредственное интегрирование, замена переменной, интегрирование тригонометрических функций, интегрирование иррациональностей и так далее.
Triblaid

Сложный интеграл с экспонентой

Сообщение Triblaid » 29 ноя 2016, 07:42

Дан интеграл [tex]\frac{dx}{e^{2x}+e^{x}}[/tex] поможете как можно заменить? Чтобы начать решать?

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1347
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Сложный интеграл с экспонентой

Сообщение Добрый Волк » 29 ноя 2016, 10:09

Замена тут такая: [tex]t=e^x[/tex]. Отсюда имеем: [tex]x=\ln{t}[/tex], [tex]dx=\frac{dt}{t}[/tex]. И интеграл теперь станет таким:
[tex]\int\frac{dx}{e^{2x}+e^x}=\int\frac{dt}{t\cdot\left(t^2+t\right)}=\int\frac{dt}{t^2\cdot\left(t+1\right)}[/tex]
А далее применяем стандартные методы интегрирования рациональных функций:
[tex]\frac{1}{t^2\cdot\left(t+1\right)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t^2}+\frac{C}{t+1}=\ldots[/tex]
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"


Triblaid

Re: Сложный интеграл с экспонентой

Сообщение Triblaid » 29 ноя 2016, 11:18

А если будет [tex]\frac{dx}{3e^{2x}+e^{x}}[/tex] будет тоже самое? [tex]\frac{dt}{t^{2}*(3t+1)}?[/tex]

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1347
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Сложный интеграл с экспонентой

Сообщение Добрый Волк » 29 ноя 2016, 19:15

В принципе, да. При желании вы можете [tex]\frac{1}{3}[/tex] вынести за знак интеграла, но это не является обязательным.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Ответить