Сложный интеграл с экспонентой

Нахождение неопределённых интегралов. Вычисление определённых интегралов. Применение определённых интегралов для нахождения площадей, длин дуг и объёмов тел. Несобственные интегралы.
Triblaid

Сложный интеграл с экспонентой

Сообщение Triblaid »

Дан интеграл \(\frac{dx}{e^{2x}+e^{x}}\) поможете как можно заменить? Чтобы начать решать?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Сложный интеграл с экспонентой

Сообщение Алексей »

Замена тут такая: \(t=e^x\). Отсюда имеем: \(x=\ln{t}\), \(dx=\frac{dt}{t}\). И интеграл теперь станет таким:

\(\int\frac{dx}{e^{2x}+e^x}=\int\frac{dt}{t\cdot\left(t^2+t\right)}=\int\frac{dt}{t^2\cdot\left(t+1\right)}\)

А далее применяем стандартные методы интегрирования рациональных функций:

\(\frac{1}{t^2\cdot\left(t+1\right)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t^2}+\frac{C}{t+1}=\ldots\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Triblaid

Re: Сложный интеграл с экспонентой

Сообщение Triblaid »

А если будет \(\frac{dx}{3e^{2x}+e^{x}}\) будет тоже самое? \(\frac{dt}{t^{2}*(3t+1)}?\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Сложный интеграл с экспонентой

Сообщение Алексей »

В принципе, да. При желании вы можете \(\frac{1}{3}\) вынести за знак интеграла, но это не является обязательным.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить