дифференцируемость функции

Область определения, пределы и непрерывность, применение производной.
Ella
Сообщения: 2
Зарегистрирован: 30 янв 2017, 12:25

дифференцируемость функции

Сообщение Ella »

Помогите с решением
Задание: исследовать на дифференцируемость функцию y = |П — х|* sin x
В ответе написано, что она дифференцируема всюду. У меня не сходится, в чем ошибка?
Решение:
Функция обращается в ноль в точках: х=0; Пk, k целое
Раскроем знак модуля:
[tex]y(x)=\begin{cases} & \text{(П-x)*sinx , } \\ & \text{-(П-x)*sinx } \end{cases}[/tex]
Исследуем функцию в точке х=0:
Находим левую производную:
[tex]\lim_{h\rightarrow -0}(y(x_{0}+h)-y(x_{0}))/h=\lim_{h\rightarrow -0}(-(П-0-h)*sin(0+h)-0)/h=\lim_{h\rightarrow -0}((-П+h)*sinh)/h=-П-0=-П;[/tex]
Теперь правую:
[tex]\lim_{h\rightarrow +0}((П-0-h)*sin(0+h)-0)/h=\lim_{h\rightarrow +0}((П-h)*sinh)/h=П+0=П;[/tex]
Следовательно, производной данной функции в точке х=0 не существует, а значит функция в ней не дифференцируема;
Далее, исследую в точках: х=Пk, k целое
Если k - нечетное, то односторонние производные равны 0; если k - четное, то у меня снова получается, что они не равны (правая производная =-П, а левая = П), значит тут тоже не существует производной. Что я делаю не так??

PS/ h-это приращение аргумента
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: дифференцируемость функции

Сообщение Алексей »

Добрый день! Я не совсем понял, зачем исследовать точки вида \(x=\pi{k}\). Да, функция в них действительно обращается в ноль, но обращение функции в ноль в некоей точке вовсе не является существенным фактором для существования или не существования производной в этой же точке. Например, в точке \(x=2\) функция \(y=|x-2|\) равна нулю, однако \(y'(2)\) не существует. В то же время при \(x=2\) будет равна нулю функция \(y=(x-2)^3\), однако значение \(y'(2)\) для этой функции вполне определено.

Запишем заданную функцию \(y=|\pi-x|\sin{x}\) на интервалах (при этом точку \(x=\pi\) для наглядности выделим отдельно). Если \(x>\pi\), то \(\pi-x<0\), поэтому \(|\pi-x|=-(\pi-x)\), а значит \(y=-(\pi-x)\sin{x}\). Аналогично, при \(x<\pi\) получим \(y=(\pi-x)\sin{x}\). Таким образом, заданную функцию можно записать так:

\(y=\left\{\begin{aligned} &(\pi-x)\sin{x}, x<\pi.\\& 0, x=\pi.\\&-(\pi-x)\sin{x}, x>\pi.\end{aligned}\right.\)

Существование производной в точках интервалов \((-\infty; \pi)\) и \((\pi; -\infty)\) не вызывает сомнений. Сомнения вызывает лишь существование производной в точке \(x=\pi\). Cудя по вашему сообщению, вы хотите доказать существование производной по определению - это несложно сделать в нашем случае. Найдем соответствующий предел слева:

\(\lim_{\Delta{x}\to{0-0}}\frac{y(\pi+\Delta{x})-y(\pi)}{\Delta{x}}
=\lim_{\Delta{x}\to{0-0}}\frac{(\pi-(\pi+\Delta{x}))\sin(\pi+\Delta{x})-0}{\Delta{x}}
=\lim_{\Delta{x}\to{0-0}}(-\sin(\pi+\Delta{x}))=0.\)

Итак, левосторонняя производная \(y_{-}^{'}(\pi)=0\). Аналогично доказывается, что правосторонняя производная \(y_{+}^{'}(\pi)=0\). Отсюда делаем вывод относительно существования \(y'(\pi)\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ella
Сообщения: 2
Зарегистрирован: 30 янв 2017, 12:25

Re: дифференцируемость функции

Сообщение Ella »

Огромное спасибо за объяснение!
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: дифференцируемость функции

Сообщение Алексей »

Пожалуйста :) Кстати, там вовсе не обязательно использовать определение производной. Можно найти производную слева и справа по обычным правилам дифференцирования, а потом проверить, совпадают ли пределы при \( x\to{\pi-0}\) и \(x\to{\pi+0}\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить