Некоторые разделы высшей математики
Здесь я выкладываю разделы, посвящённые решению стандартных задач курса высшей математики. Список доступных разделов обновляется по мере наличия настроения :).
Пару слов от автора
Зачем нужны эти материалы? Есть куча книг!
Да, есть. Но они зачастую содержат лишь теорию, перепечатываемую из книги в книгу. Писать должно так, чтобы материал был понятен читателю. Нужно предугадывать вопросы читателя, а не просто отмахиваться словосочетанием "это очевидно". К существеннейшим недостаткам я отношу и отсутствие ответов к размещённым упражнениям (исключения есть, но их немного). Этот недостаток делает практические упражнения почти бесполезными для самоучек, – ведь читатель не сможет проверить, правильно ли он решил предложенную автором задачу. Разумеется, выручают решебники, но ввиду ограниченности количества страниц, они не могут вместить в себя все практические аспекты рассматриваемой теории. Пришлось взяться самому :)
Почему так мало материалов?
Я пишу в свободное от работы и самообразования время. Это моё хобби. Можно, конечно, халтурно наклепать кучу страниц, на которых разобрать стандартнейшие примеры. Но мой внутренний перфекционист не позволяет так поступить :) Перед тем, как браться за клавиатуру, нужно освежить в памяти теоретический материал, затем просмотреть около десяти решебников и несколько методичек. Это не означает, что я беру готовые примеры оттуда :) Просто хочу быть уверенным, что не упустил какую-то важную практическую сторону рассматриваемой проблемы.
Что дальше?
Дальше у меня в планах находится доработка тем из курса высшей математики и переход к таким предметам, которые нечасто рассматриваются в стандартных решебниках: математической логики, теории функций комплексной переменной, теории алгоритмов (и иных разделов из курса дискретной математики), топологии, вариационного исчисления и так далее :) Мне, как большей частью самоучке, интересны почти все разделы математики. Единственное, что для меня не представляет особого интереса – это олимпиадные задачи. Изредка решаю их, но только в качестве исключения.
Как помочь проекту?
Возможно, у вас есть хороший решебник по какому-либо разделу математики, или же интересная методичка Вашего вуза, которую можете сфотографировать. Буду очень признателен, если сможете выслать их мне. Также приветствую любые замечания и предложения.
Список разделов и тем
Матрицы и определители
- Матрицы. Виды матриц. Основные термины.
- Операции над матрицами.
- Алгебраические дополнения и миноры. Виды миноров и алгебраических дополнений.
- Определители. Их свойства и методы вычисления.
- Некоторые свойства определителей.
- Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков.
- Понижение порядка определителя. Разложение определителя по строке (столбцу).
- Разложение определителя с предварительным преобразованием (метод эффективного понижения порядка).
- Вычисление определителя методом сведения к треугольному виду.
- Обратная матрица. Способы нахождения обратных матриц.
- Ранг матрицы.
Системы линейных алгебраических уравнений
- Система линейных алгебраических уравнений. Терминология. Матричная форма записи.
- Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.
- Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы.
- Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
- Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса-Жордана.
- Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем линейных уравнений на совместность.
- Общее и базисное решения системы.
- Однородные системы. Фундаментальная система решений.
Пределы
- Предел отношения двух многочленов.
- Пределы с иррациональностями.
- Первый замечательный предел.
- Второй замечательный предел.
- Следствия из второго замечательного предела.
Функции нескольких переменных
- Экстремум функции двух переменных.
- Условный экстремум функций многих переменных. Метод множителей Лагранжа.
- Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области.
- Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Неопределённые интегралы
- Понятие неопределённого интеграла.
- Непосредственное интегрирование.
- Интегрирование подстановкой (внесение под знак дифференциала).
- Интегрирование по частям.
- Интегрирование рациональных функций (рациональных дробей).
- Универсальная тригонометрическая подстановка.
- Подстановки Эйлера.
Числовые ряды
- Основные понятия. Запись нескольких первых членов ряда. Свойства числовых рядов.
- Нахождение общего члена ряда по заданным первым членам.
- Нахождение суммы числового ряда.
- Необходимый признак сходимости числового ряда.
- Признаки сравнения числовых рядов.
- Признак Д'Аламбера.
- Радикальный признак Коши.
- Интегральный признак Коши-Маклорена.
- Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.
- Выбор признака сходимости числовых рядов.
Функциональные ряды
- Вычисление определённых интегралов с помощью функциональных рядов.
Линейно зависимые и линейно независимые функции
- Определение. Примеры исследования линейной зависимости функций по определению.
- Определитель Грама (грамиан).
- Определитель Вронского (вронскиан).
Разное (схема Горнера, деление многочленов, и т.д.)
- Схема Горнера.
- Деление многочленов "столбиком" ("уголком").
- Разложение рациональных дробей на элементарные дроби.
- Понятие множества. Способы задания множеств.
- Перестановки, размещения и сочетания. Формулы.
- Производная сложной функции.