Реклама

Производная сложной функции.

Все примеры этого раздела опираются на таблицу производных и теорему о производной сложной функции, формулировка которой такова:

Пусть 1) функция $u=\varphi(x)$ имеет в некоторой точке $x_0$ производную $u_{x}'=\varphi'(x_0)$, 2) функция $y=f(u)$ имеет в соответствующей точке $u_0=\varphi (x_0)$ производную $y_{u}'=f'(u)$. Тогда сложная функция $y=f\left(\varphi (x) \right)$ в упомянутой точке также будет иметь производную, равную произведению производных функций $f(u)$ и $\varphi (x)$:

$$ \left( f(\varphi (x))\right)'=f_{u}'\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi'(x_0) $$

или, в более короткой записи: $y_{x}'=y_{u}'\cdot u_{x}'$.

В примерах этого раздела все функции имеют вид $y=f(x)$ (т.е. рассматриваем лишь функции одной переменной $x$). Соответственно, во всех примерах производная $y'$ берётся по переменной $x$. Чтобы подчеркнуть то, что производная берётся по переменной $x$, часто вместо $y'$ пишут $y'_x$.

В примерах №1, №2 и №3 изложен подробный процесс нахождения производной сложных функций. Пример №4 предназначен для более полного понимания таблицы производных и с ним имеет смысл ознакомиться.

Желательно после изучения материала в примерах №1-3 перейти к самостоятельному решению примеров №5, №6 и №7. Примеры №5, №6 и №7 содержат краткое решение, чтобы читатель мог проверить правильность своего результата.

Пример №1

Найти производную функции $y=e^{\cos{x}}$.

Решение

Так как $y=e^{\cos{x}}$, то, соответственно, $y'=\left(e^{\cos x}\right)'$. Открываем таблицу производных и видим, что формула №6 имеет нужную нам структуру:

$$\left(e^u\right)'=e^u\cdot{u'}$$

Только в нашем случае вместо $u$ стоит $\cos{x}$, т.е. $u=\cos{x}$. Подставляя в табличную формулу $u=\cos{x}$, получим:

Производная

Итак,

$$ y'=\left( e^{\cos x} \right)'=e^{\cos x}\cdot (\cos x)' \tag {1.1}$$

Первая часть работы сделана. Теперь нужно найти производную $(\cos{x})'$. Вновь обращаемся к таблице производных, выбирая из неё формулу №10:

$$ \left(\cos{u}\right)'=-\sin{u}\cdot{u'} $$

Подставляя $u=x$ в данную формулу, имеем: $(\cos{x})'=-\sin{x}\cdot{x'}$. Теперь продолжим равенство (1.1), дополнив его найденным результатом:

$$ y'=\left( e^{\cos x} \right)'=e^{\cos x}\cdot (\cos x)'= e^{\cos x}\cdot (-\sin x\cdot x') \tag {1.2} $$

Так как $x'=1$, то продолжим равенство (1.2):

$$ y'=\left( e^{\cos x} \right)'=e^{\cos x}\cdot (\cos x)'= e^{\cos x}\cdot (-\sin x\cdot x')=e^{\cos x}\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^{\cos x} \tag {1.3} $$

Итак, из равенства (1.3) имеем: $y'=-\sin x\cdot e^{\cos x}$. Естественно, что пояснения и промежуточные равенства обычно пропускают, записывая нахождение производной в одну строку, – как в равенстве (1.3). Итак, производная сложной функции найдена, осталось лишь записать ответ.

Ответ: $y'=-\sin x\cdot e^{\cos x}$.

Пример №2

Найти производную функции $y=9\arctg^{12}(4\ln x)$.

Решение

Нам необходимо вычислить производную $y'=\left(9\arctg^{12}(4\ln x) \right)'$. Для начала отметим, что константу (т.е. число 9) можно вынести за знак производной:

$$ y'=\left(9\arctg^{12}(4\ln x) \right)'=9\cdot\left(\arctg^{12}(4\ln x) \right)' \tag {2.1} $$

Теперь обратимся к выражению $\left(\arctg^{12}(4\ln x) \right)'$. Чтобы выбрать нужную формулу из таблицы производных было легче, я представлю рассматриваемое выражение в таком виде: $\left(\left(\arctg(4\ln x) \right)^{12}\right)'$. Теперь видно, что необходимо использовать формулу №2, т.е. $\left(u^\alpha \right)'=\alpha\cdot u^{\alpha-1}\cdot u'$. В эту формулу подставим $u=\arctg(4\ln x)$ и $\alpha=12$:

$$ \left(\left(\arctg(4\ln x) \right)^{12}\right)' =12\cdot\left(\arctg(4\ln x) \right)^{12-1}\cdot\left(\arctg(4\ln x)\right)' =12\cdot\left(\arctg(4\ln x) \right)^{11}\cdot\left(\arctg(4\ln x)\right)' $$

Дополняя равенство (2.1) полученным результатом, имеем:

$$ y'=\left(9\cdot \arctg^{12}(4\ln x) \right)'=9\cdot\left(\arctg^{12}(4\ln x) \right)'= 108\cdot\left(\arctg(4 \ln x) \right)^{11}\cdot (\arctg(4\ln{x}))' \tag {2.2} $$

Примечание: показать\скрыть

Теперь нужно найти $(\arctg(4\ln x))'$. Используем формулу №19 таблицы производных, подставив в неё $u=4\ln x$:

$$ (\arctg(4\ln x))' =\frac{1}{1+(4\ln x)^2}\cdot (4\ln x)' =\frac{1}{1+16\ln^2{x}}\cdot (4\ln x)' $$

Равенство (2.2) теперь станет таким:

$$ y'=\left(9\cdot \arctg^{12}(4\ln x) \right)'=9\cdot\left(\arctg^{12}(4\ln x) \right)'=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\ln x) \right)^{11}\cdot (\arctg(4\ln x))' =108\cdot \left(\arctg(4\ln x) \right)^{11}\cdot \frac{1}{1+16\cdot \ln^2 x}\cdot (4\ln x)' \tag {2.3} $$

Осталось найти $(4\ln x)'$. Вынесем константу (т.е. 4) за знак производной: $(4\cdot \ln x)'=4\cdot (\ln x)'$. Для того, чтобы найти $(\ln x)'$, используем формулу №8, подставив в нее $u=x$: $(\ln x)'=\frac{1}{x}\cdot x'$. Так как $x'=1$, то получим:

$$(\ln x)'=\frac{1}{x}\cdot x'=\frac{1}{x}\cdot 1=\frac{1}{x}$$

Подставив полученный результат в формулу (2.3), получим:

$$ y'=\left(9\cdot \arctg^{12}(4\ln x) \right)'=9\cdot\left(\arctg^{12}(4\ln x) \right)'=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\ln x) \right)^{11}\cdot (\arctg(4\ln x))'=108\cdot \left(\arctg(4\ln x) \right)^{11}\cdot \frac{1}{1+16\cdot \ln^2 x}\cdot (4\cdot \ln x)'=\\ =108\cdot \left(\arctg(4\ln x) \right)^{11}\cdot \frac{1}{1+16\cdot \ln^2 x}\cdot 4\cdot \frac{1}{x} =\frac{432\arctg^{11}(4\ln x)}{x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)}. $$

Напомню, что производная сложной функции чаще всего находится в одну строку, – как записано в последнем равенстве. Поэтому при оформлении типовых расчетов или контрольных работ вовсе не обязательно расписывать решение столь же подробно.

Ответ: $y'=\frac{432\arctg^{11}(4\ln x)}{x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)}$.

Пример №3

Найти $y'$ функции $y=\sqrt[7]{\sin^3(5\cdot9^x)}$.

Решение

Для начала немного преобразим функцию $y$, выразив радикал (корень) в виде степени: $y=\sqrt[7]{\sin^3(5\cdot9^x)}=\left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}$. Теперь приступим к нахождению производной. Так как $y=\left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}$, то:

$$ y'=\left( \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}\right)' \tag {3.1} $$

Используем формулу №2 из таблицы производных, подставив в неё $u=\sin(5\cdot 9^x)$ и $\alpha=\frac{3}{7}$:

$$ \left( \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}\right)'= \frac{3}{7}\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}-1} (\sin(5\cdot 9^x))'=\frac{3}{7}\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} (\sin(5\cdot 9^x))' $$

Продолжим равенство (3.1), используя полученный результат:

$$ y'=\left( \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}\right)'=\frac{3}{7}\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} (\sin(5\cdot 9^x))' \tag {3.2} $$

Теперь нужно найти $(\sin(5\cdot 9^x))'$. Используем для этого формулу №9 из таблицы производных, подставив в неё $u=5\cdot 9^x$:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))'=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)' $$

Дополнив равенство (3.2) полученным результатом, имеем:

$$ y'=\left( \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}\right)'=\frac{3}{7}\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} (\sin(5\cdot 9^x))'=\\ =\frac{3}{7}\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)' \tag {3.3} $$

Осталось найти $(5\cdot 9^x)'$. Для начала вынесем константу (число $5$) за знак производной, т.е. $(5\cdot 9^x)'=5\cdot (9^x)'$. Для нахождения производной $(9^x)'$ применим формулу №5 таблицы производных, подставив в неё $a=9$ и $u=x$: $(9^x)'=9^x\cdot \ln9\cdot x'$. Так как $x'=1$, то $(9^x)'=9^x\cdot \ln9\cdot x'=9^x\cdot \ln9$. Теперь можно продолжить равенство (3.3):

$$ y'=\left( \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}\right)'=\frac{3}{7}\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} (\sin(5\cdot 9^x))'=\\ =\frac{3}{7}\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)'= \frac{3}{7}\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} \cos(5\cdot 9^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac{15\cdot \ln 9}{7}\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}}\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Можно вновь от степеней вернуться к радикалам (т.е. корням), записав $\left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}}$ в виде $\frac{1}{\left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{4}{7}}}=\frac{1}{\sqrt[7]{\sin^4(5\cdot 9^x)}}$. Тогда производная будет записана в такой форме:

$$ y'=\frac{15\cdot \ln 9}{7}\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}}\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x =\frac{15\ln 9}{7}\cdot \frac{\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x}{\sqrt[7]{\sin^4(5\cdot 9^x)}}. $$

Ответ: $y'=\frac{15\ln 9}{7}\cdot \frac{\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x}{\sqrt[7]{\sin^4(5\cdot 9^x)}}$.

Пример №4

Показать, что формулы №3 и №4 таблицы производных есть частный случай формулы №2 этой таблицы.

Решение

В формуле №2 таблицы производных записана производная функции $u^\alpha$. Подставляя $\alpha=-1$ в формулу №2, получим:

$$\left(u^{-1}\right)'=-1\cdot u^{-1-1}\cdot u'=-u^{-2}\cdot u'\tag {4.1}$$

Так как $u^{-1}=\frac{1}{u}$ и $u^{-2}=\frac{1}{u^2}$, то равенство (4.1) можно переписать так: $\left( \frac{1}{u} \right)'=-\frac{1}{u^2}\cdot u'$. Это и есть формула №3 таблицы производных.

Вновь обратимся к формуле №2 таблицы производных. Подставим в неё $\alpha=\frac{1}{2}$:

$$\left(u^{\frac{1}{2}}\right)'=\frac{1}{2}\cdot u^{\frac{1}{2}-1}\cdot u'=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\cdot u'\tag {4.2} $$

Так как $u^{\frac{1}{2}}=\sqrt{u}$ и $u^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{u}}$, то равенство (4.2) можно переписать в таком виде:

$$ (\sqrt{u})'=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot u'=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u' $$

Полученное равенство $(\sqrt{u})'=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u'$ и есть формула №4 таблицы производных. Как видите, формулы №3 и №4 таблицы производных получаются из формулы №2 подстановкой соответствующего значения $\alpha$.

Пример №5

Найти $y'$, если $y=\arcsin{2^x}$.

Решение

Нахождение производной сложной функции в данном примере запишем без подробных пояснений, которые были даны в предыдущих задачах.

$$ y' =\left(\arcsin{2^x}\right)' =\frac{1}{\sqrt{1-\left(2^x\right)^2}}\cdot\left(2^x\right)' =\frac{1}{\sqrt{1-2^{2x}}}\cdot{2^x}\ln{2} =\frac{2^x\ln{2}}{\sqrt{1-2^{2x}}} $$

Ответ: $y'=\frac{2^x\ln 2}{\sqrt{1-2^{2x}}}$.

Пример №6

Найти $y'$, если $y=7\ln\sin^3{x}$.

Решение

Как и в предыдущем примере, нахождение производной сложной функции рассмотрим без подробностей. Желательно записать производную самостоятельно, лишь сверяясь с указанным ниже решением.

Сразу стоит отметить, что перед нахожденим производной функцию хорошо бы слегка упростить. Так как $\ln\sin^3{x}=3\ln\sin{x}$, то $y=21\ln\sin{x}$.

$$ y' =\left(21\ln\sin{x}\right)' =21\cdot\left(\ln\sin{x}\right)' =21\cdot\frac{1}{\sin{x}}\cdot(\sin{x})' =\frac{21}{\sin{x}}\cdot\cos{x} =21\ctg{x}. $$

Ответ: $y'=21\ctg x$.

Пример №7

Найти $y'$, если $y=\frac{9}{\tg^4(\log_{2}(2\cdot\cos x))}$.

Решение

Производная