Какой задачник по высшей математике (математическому анализу) вы используете? Пожалуйста, проголосуйте за свой сборник в этой теме (регистрация не требуется).

Реклама
Первая часть Вторая часть Третья часть

Интегрирование рациональных функций (рациональных дробей). Вторая часть.

Продолжаем тему интегрирования рациональных функций. Размещу вверху страницы формулы, которые будем использовать. Эти формулы были описаны в первой части темы, поэтому тут их просто перечислю. В формулах (2) и (4) предполагается $n=2,3,4,\ldots$. Формулы (3) и (4) требуют выполнения условия $p^2-4q < 0$.

\begin{equation} \int \frac{A}{x-a} dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end{equation} \begin{equation} \int\frac{A}{(x-a)^n}dx=-\frac{A}{(n-1)(x-a)^{n-1}}+C \end{equation} \begin{equation} \int \frac{Mx+N}{x^2+px+q} dx= \frac{M}{2}\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac{2N-Mp}{\sqrt{4q-p^2}}\arctg\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C \end{equation}

Пример №4

Найти интеграл $\int\frac{7x^5+74x^4+214x^3+90x^2-22x+50}{x^3+10x^2+25x}dx$.

Решение

Итак, нам нужно проинтегрировать дробь $\frac{7x^5+74x^4+214x^3+90x^2-22x+50}{x^3+10x^2+25x}$. В числителе расположен многочлен пятой степени, а в знаменателе – многочлен третьей степени. Так как степень многочлена в числителе не меньше степени многочлена в знаменателе, т.е. $5 ≥ 3$, то подынтегральная дробь является неправильной. Посему перед тем, как приступать к разложению на элементарные рациональные дроби, потребно разложить сию неправильную дробь на многочлен и правильную дробь. Для этого разделим многочлен в числителе на многочлен в знаменателе, используя для сего метод деления "уголком":

деление столбиком

Полученный результат можно представить в такой форме:

$$ 7x^5+74x^4+214x^3+90x^2-22x+50=(x^3+10x^2+25x)(7x^2+4x-1)+3x+50. $$

Подынтегральная дробь примет вид:

$$ \frac{7x^5+74x^4+214x^3+90x^2-22x+50}{x^3+10x^2+25x}=\frac{(x^3+10x^2+25x)(7x^2+4x-1)+3x+50}{x^3+10x^2+25x}=\\ =\frac{(x^3+10x^2+25x)(7x^2+4x-1)}{x^3+10x^2+25x}+\frac{3x+50}{x^3+10x^2+25x}=7x^2+4x-1+\frac{3x+50}{x^3+10x^2+25x}. $$

Дробь $\frac{3x+50}{x^3+10x^2+25x}$ является правильной, ибо степень числителя (т.е. 1) меньше степени знаменателя (т.е. 3). Теперь нужно представить эту дробь в виде суммы элементарных дробей. Для начала разложим на множители знаменатель.

$$ x^3+10x^2+25x=x(x^2+10x+25)=x\cdot(x+5)^2. $$

Дробь $\frac{3x+50}{x^3+10x^2+25x}$ теперь примет такой вид:

$$ \frac{3x+50}{x^3+10x^2+25x}=\frac{3x+50}{x\cdot(x+5)^2}. $$

Приступим к разложению сей дроби на элементарные:

$$ \frac{3x+50}{x\cdot(x+5)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+5}+\frac{C}{(x+5)^2}=\frac{A(x+5)^2+Bx(x+5)+Cx}{x(x+5)^2};\\ 3x+50=A(x+5)^2+Bx(x+5)+Cx. $$

В предыдущем примере для нахождения параметров $A$, $B$, $C$ применялся метод подстановки частных значений. Посему в этом примере, сугубо для разнообразия, применим метод неопределённых коэффициентов. Впрочем, в конце решения я кратко укажу нахождение оных параметров с помощью метода подстановки. Итак, согласно методу неопределённых коэффициентов получим:

$$ 3x+50=A(x^2+10x+25)+B(x^2+5x)+Cx;\\ 3x+50=(A+B)x^2+(10A+5B)x+25A. $$

Дальнейший процесс решения подробно описан тут, посему ограничимся краткими комментариями. Мы имеем равенство многочленов, что означает равенство коэффициентов при соответствующих степенях $x$. В левой части перед $x^2$ стоит коэффициент $0$ (т.е. в левой части стоит многочлен $0\cdot x^2 +3x+50$), а в правой части перед $x^2$ расположен коэффициент $A+B$. Отсюда имеем первое уравнение $A+B=0$. Далее, в левой части перед $x$ стоит коэффициент $3$, а в правой части перед $x$ расположен коэффициент $10A+5B$, посему $10A+5B=3$. Аналогичными рассуждениями получаем уравнение $25A=50$. Все эти уравнения запишем в систему:

$$ \left\{ \begin{aligned} & A+B=0;\\ & 10A+5B+C=3;\\ & 25A=50. \end{aligned} \right. $$

Конечно, полученную систему линейных уравнений можно решать разными методами: Гаусса, Крамера или с помощью обратной матрицы. Однако учитывая простоту этой системы, гораздо быстрее рассудить следующим образом. Из третьего уравнения имеем: $A=\frac{50}{25}=2$. Подставляя $A=2$ в первое уравнение, получим: $2+B=0$, откуда $B=-2$. Теперь осталось лишь подставить $A=2$, $B=-2$ во второе уравнение, получив при этом: $20-10+C=3$, $C=-7$. Коэффициенты найдены. Запишем готовое разложение на элементарные дроби:

$$ \frac{3x+50}{x\cdot(x+5)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+5}+\frac{C}{(x+5)^2}=\frac{2}{x}-\frac{2}{x+5}-\frac{7}{(x+5)^2}. $$

Для подынтегральной дроби получим:

$$ \frac{7x^5+74x^4+214x^3+90x^2-22x+50}{x^3+10x^2+25x}=7x^2+4x-1+\frac{3x+50}{x^3+10x^2+25x}=\\ =7x^2+4x-1+\frac{2}{x}-\frac{2}{x+5}-\frac{7}{(x+5)^2}. $$

Теперь уже можно вернуться и к исходному интегралу. Расписывать интеграл на несколько интегралов не станем, ибо это уже делалось в предыдущих примерах. Просто применим формулы (1) и (2) для интегрирования соответствующих дробей:

$$ \int\frac{7x^5+74x^4+214x^3+90x^2-22x+50}{x^3+10x^2+25x}dx=\int\left(7x^2+4x-1+\frac{2}{x}-\frac{2}{x+5}-\frac{7}{(x+5)^2} \right) dx=\\ =\frac{7x^3}{3}+2x^2-x+2\ln|x|-2\ln|x+5|+\frac{7}{x+5}+C. $$

Маленькое пояснение по поводу $\int\frac{7}{(x+5)^2}dx$. Этот интеграл берётся по формуле (2) (в которую подставляем $n=2$):

$$ \int\frac{7}{(x+5)^2}dx=\frac{7}{(2-1)(x+5)^{2-1}}+C=\frac{7}{x+5}+C. $$

Решение окончено, но дополнительно вкратце укажем процесс нахождения параметров $A$, $B$, $C$ с помощью метода подстановки.

Нахождение параметров $A$, $B$, $C$ методом подстановки: показать\скрыть

Ответ: $\int\frac{7x^5+74x^4+214x^3+90x^2-22x+50}{x^3+10x^2+25x}dx=\frac{7x^3}{3}+2x^2-x+2\ln|x|-2\ln|x+5|+\frac{7}{x+5}+C$.

Пример №5

Найти интеграл $\int\frac{7x^3-37x^2+45x-79}{(x-3)^2(x^2+2x+7)}dx$.

Решение

Нам нужно проинтегрировать правильную рациональную дробь. В примере №4 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные, было получено разложение этой дроби:

$$ \frac{7x^3-37x^2+45x-79}{(x-3)^2(x^2+2x+7)}=\frac{2}{x-3}-\frac{4}{(x-3)^2}+\frac{5x-1}{x^2+2x+7}. $$

Осталось лишь проинтегрировать. Для интегрирования дроби $\frac{2}{x-3}$ будет применена формула (1); для интегрирования дроби $\frac{4}{(x-3)^2}$ будет применена формула (2); а для интегрирования дроби $\frac{5x-1}{x^2+2x+7}$ применим формулу (3).

$$ \int\frac{7x^3-37x^2+45x-79}{(x-3)^2(x^2+2x+7)}dx=\int\left(\frac{2}{x-3}-\frac{4}{(x-3)^2}+\frac{5x-1}{x^2+2x+7}\right)dx=\\ =2\ln|x-3|+\frac{4}{(2-1)(x-3)^{2-1}}+\frac{5}{2}\cdot \ln (x^2+2x+7)+\frac{2\cdot (-1)-5\cdot 2}{\sqrt{4\cdot 7-2^2}}\arctg\frac{2x+2}{\sqrt{4\cdot 7-2^2}}+C=\\ =2\ln|x-3|+\frac{4}{x-3}+\frac{5}{2} \ln (x^2+2x+7)-\frac{12}{\sqrt{24}} \arctg\frac{2x+2}{\sqrt{24}}+C=\\ =2\ln|x-3|+\frac{4}{x-3}+\frac{5}{2} \ln (x^2+2x+7)-\frac{6}{\sqrt{6}} \arctg\frac{x+1}{\sqrt{6}}+C=\\ =2\ln|x-3|+\frac{4}{x-3}+\frac{5}{2} \ln (x^2+2x+7)-\sqrt{6}\; \arctg\frac{x+1}{\sqrt{6}}+C. $$

Ответ: $\int\frac{7x^3-37x^2+45x-79}{(x-3)^2(x^2+2x+7)}dx=2\ln|x-3|+\frac{4}{x-3}+\frac{5}{2} \ln (x^2+2x+7)-\sqrt{6} \;\arctg\frac{x+1}{\sqrt{6}}+C$.

Продолжение темы интегрирования рациональных функций – в третьей части.

Вернуться к списку тем Задать вопрос на форуме Мой аккаунт ВКонтакте Записаться на курс онлайн-занятий