Реклама
Первая часть Вторая часть Третья часть

Интегрирование рациональных функций (рациональных дробей). Вторая часть.

Продолжаем тему интегрирования рациональных функций. Размещу вверху страницы формулы, которые будем использовать. Эти формулы были описаны в первой части темы, поэтому тут их просто перечислю. В формулах (2) и (4) предполагается $n=2,3,4,\ldots$. Формулы (3) и (4) требуют выполнения условия $p^2-4q < 0$.

\begin{equation} \int \frac{A}{x-a} dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end{equation} \begin{equation} \int\frac{A}{(x-a)^n}dx=-\frac{A}{(n-1)(x-a)^{n-1}}+C \end{equation} \begin{equation} \int \frac{Mx+N}{x^2+px+q} dx= \frac{M}{2}\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac{2N-Mp}{\sqrt{4q-p^2}}\arctg\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C \end{equation}

Пример №4

Найти интеграл $\int\frac{7x^5+74x^4+214x^3+90x^2-22x+50}{x^3+10x^2+25x}dx$.

Решение

Итак, нам нужно проинтегрировать дробь $\frac{7x^5+74x^4+214x^3+90x^2-22x+50}{x^3+10x^2+25x}$. В числителе расположен многочлен пятой степени, а в знаменателе – многочлен третьей степени. Так как степень многочлена в числителе не меньше степени многочлена в знаменателе, т.е. $5 ≥ 3$, то подынтегральная дробь является неправильной. Посему перед тем, как приступать к разложению на элементарные рациональные дроби, потребно разложить сию неправильную дробь на многочлен и правильную дробь. Для этого разделим многочлен в числителе на многочлен в знаменателе, используя для сего метод деления "уголком":

деление столбиком

Полученный результат можно представить в такой форме:

$$ 7x^5+74x^4+214x^3+90x^2-22x+50=(x^3+10x^2+25x)(7x^2+4x-1)+3x+50. $$

Подынтегральная дробь примет вид:

$$ \frac{7x^5+74x^4+214x^3+90x^2-22x+50}{x^3+10x^2+25x}=\frac{(x^3+10x^2+25x)(7x^2+4x-1)+3x+50}{x^3+10x^2+25x}=\\ =\frac{(x^3+10x^2+25x)(7x^2+4x-1)}{x^3+10x^2+25x}+\frac{3x+50}{x^3+10x^2+25x}=7x^2+4x-1+\frac{3x+50}{x^3+10x^2+25x}. $$

Дробь $\frac{3x+50}{x^3+10x^2+25x}$ является правильной, ибо степень числителя (т.е. 1) меньше степени знаменателя (т.е. 3). Теперь нужно представить эту дробь в виде суммы элементарных дробей. Для начала разложим на множители знаменатель.

$$ x^3+10x^2+25x=x(x^2+10x+25)=x\cdot(x+5)^2. $$

Дробь $\frac{3x+50}{x^3+10x^2+25x}$ теперь примет такой вид:

$$ \frac{3x+50}{x^3+10x^2+25x}=\frac{3x+50}{x\cdot(x+5)^2}. $$

Приступим к разложению сей дроби на элементарные:

$$ \frac{3x+50}{x\cdot(x+5)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+5}+\frac{C}{(x+5)^2}=\frac{A(x+5)^2+Bx(x+5)+Cx}{x(x+5)^2};\\ 3x+50=A(x+5)^2+Bx(x+5)+Cx. $$

В предыдущем примере для нахождения параметров $A$, $B$, $C$ применялся метод подстановки частных значений. Посему в этом примере, сугубо для разнообразия, применим метод неопределённых коэффициентов. Впрочем, в конце решения я кратко укажу нахождение оных параметров с помощью метода подстановки. Итак, согласно методу неопределённых коэффициентов получим:

$$ 3x+50=A(x^2+10x+25)+B(x^2+5x)+Cx;\\ 3x+50=(A+B)x^2+(10A+5B)x+25A. $$

Дальнейший процесс решения подробно описан тут, посему ограничимся краткими комментариями. Мы имеем равенство многочленов, что означает равенство коэффициентов при соответствующих степенях $x$. В левой части перед $x^2$ стоит коэффициент $0$ (т.е. в левой части стоит многочлен $0\cdot x^2 +3x+50$), а в правой части перед $x^2$ расположен коэффициент $A+B$. Отсюда имеем первое уравнение $A+B=0$. Далее, в левой части перед $x$ стоит коэффициент $3$, а в правой части перед $x$ расположен коэффициент $10A+5B$, посему $10A+5B=3$. Аналогичными рассуждениями получаем уравнение $25A=50$. Все эти уравнения запишем в систему:

$$ \left\{ \begin{aligned} & A+B=0;\\ & 10A+5B+C=3;\\ & 25A=50. \end{aligned} \right. $$

Конечно, полученную систему линейных уравнений можно решать разными методами: Гаусса, Крамера или с помощью обратной матрицы. Однако учитывая простоту этой системы, гораздо быстрее рассудить следующим образом. Из третьего уравнения имеем: $A=\frac{50}{25}=2$. Подставляя $A=2$ в первое уравнение, получим: $2+B=0$, откуда $B=-2$. Теперь осталось лишь подставить $A=2$, $B=-2$ во второе уравнение, получив при этом: $20-10+C=3$, $C=-7$. Коэффициенты найдены. Запишем готовое разложение на элементарные дроби:

$$ \frac{3x+50}{x\cdot(x+5)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+5}+\frac{C}{(x+5)^2}=\frac{2}{x}-\frac{2}{x+5}-\frac{7}{(x+5)^2}. $$

Для подынтегральной дроби получим:

$$ \frac{7x^5+74x^4+214x^3+90x^2-22x+50}{x^3+10x^2+25x}=7x^2+4x-1+\frac{3x+50}{x^3+10x^2+25x}=\\ =7x^2+4x-1+\frac{2}{x}-\frac{2}{x+5}-\frac{7}{(x+5)^2}. $$

Теперь уже можно вернуться и к исходному интегралу. Расписывать интеграл на несколько интегралов не станем, ибо это уже делалось в предыдущих примерах. Просто применим формулы (1) и (2) для интегрирования соответствующих дробей:

$$ \int\frac{7x^5+74x^4+214x^3+90x^2-22x+50}{x^3+10x^2+25x}dx=\int\left(7x^2+4x-1+\frac{2}{x}-\frac{2}{x+5}-\frac{7}{(x+5)^2} \right) dx=\\ =\frac{7x^3}{3}+2x^2-x+2\ln|x|-2\ln|x+5|+\frac{7}{x+5}+C. $$

Маленькое пояснение по поводу $\int\frac{7}{(x+5)^2}dx$. Этот интеграл берётся по формуле (2) (в которую подставляем $n=2$):

$$ \int\frac{7}{(x+5)^2}dx=\frac{7}{(2-1)(x+5)^{2-1}}+C=\frac{7}{x+5}+C. $$

Решение окончено, но дополнительно вкратце укажем процесс нахождения параметров $A$, $B$, $C$ с помощью метода подстановки.

Нахождение параметров $A$, $B$, $C$ методом подстановки: показать\скрыть

Ответ: $\int\frac{7x^5+74x^4+214x^3+90x^2-22x+50}{x^3+10x^2+25x}dx=\frac{7x^3}{3}+2x^2-x+2\ln|x|-2\ln|x+5|+\frac{7}{x+5}+C$.

Пример №5

Найти интеграл $\int\frac{7x^3-37x^2+45x-79}{(x-3)^2(x^2+2x+7)}dx$.

Решение

Нам нужно проинтегрировать правильную рациональную дробь. В примере №4 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные, было получено разложение этой дроби:

$$ \frac{7x^3-37x^2+45x-79}{(x-3)^2(x^2+2x+7)}=\frac{2}{x-3}-\frac{4}{(x-3)^2}+\frac{5x-1}{x^2+2x+7}. $$

Осталось лишь проинтегрировать. Для интегрирования дроби $\frac{2}{x-3}$ будет применена формула (1); для интегрирования дроби $\frac{4}{(x-3)^2}$ будет применена формула (2); а для интегрирования дроби $\frac{5x-1}{x^2+2x+7}$ применим формулу (3).

$$ \int\frac{7x^3-37x^2+45x-79}{(x-3)^2(x^2+2x+7)}dx=\int\left(\frac{2}{x-3}-\frac{4}{(x-3)^2}+\frac{5x-1}{x^2+2x+7}\right)dx=\\ =2\ln|x-3|+\frac{4}{(2-1)(x-3)^{2-1}}+\frac{5}{2}\cdot \ln (x^2+2x+7)+\frac{2\cdot (-1)-5\cdot 2}{\sqrt{4\cdot 7-2^2}}\arctg\frac{2x+2}{\sqrt{4\cdot 7-2^2}}+C=\\ =2\ln|x-3|+\frac{4}{x-3}+\frac{5}{2} \ln (x^2+2x+7)-\frac{12}{\sqrt{24}} \arctg\frac{2x+2}{\sqrt{24}}+C=\\ =2\ln|x-3|+\frac{4}{x-3}+\frac{5}{2} \ln (x^2+2x+7)-\frac{6}{\sqrt{6}} \arctg\frac{x+1}{\sqrt{6}}+C=\\ =2\ln|x-3|+\frac{4}{x-3}+\frac{5}{2} \ln (x^2+2x+7)-\sqrt{6}\; \arctg\frac{x+1}{\sqrt{6}}+C. $$

Ответ: $\int\frac{7x^3-37x^2+45x-79}{(x-3)^2(x^2+2x+7)}dx=2\ln|x-3|+\frac{4}{x-3}+\frac{5}{2} \ln (x^2+2x+7)-\sqrt{6} \;\arctg\frac{x+1}{\sqrt{6}}+C$.

Продолжение темы интегрирования рациональных функций – в третьей части.

Вернуться к списку тем Задать вопрос на форуме Мой аккаунт ВКонтакте Записаться на курс онлайн-занятий