AMKbook.Net Задачи должны иметь решение
Реклама

Интегрирование по частям. Первая часть.

В этой теме мы подробно поговорим вычислении неопределённых интегралов с помощью так называемой "формулы интегрирования по частям". Нам понадобится таблица неопределенных интегралов и таблица производных. В первой части будут разобраны стандартные примеры, которые большей частью встречаются в типовых расчётах и контрольных работах. Более сложные примеры разобраны во второй части.

Постановка задачи в стандартном случае следующая. Допустим, под интегралом у нас расположены две функции разной природы: многочлен и тригонометрическая функция, многочлен и логарифм, многочлен и обратная тригонометрическая функция и так далее. В этой ситуации выгодно отделить одну функцию от другой. Грубо говоря, имеет смысл разбить подынтегральное выражение на части, – и разобраться с каждой частью по отдельности. Отсюда и название: "интегрирование по частям". Применение этого метода основано на следующей теореме:

Пусть функции \(u(x)\) и \(v(x)\) дифференцируемы на некотором промежутке, и на этом промежутке существует интеграл \(\int v \; du\). Тогда на этом же промежутке существует и интеграл \(\int u \; dv\), при этом верно следущее равенство:

\[ \begin{equation} \int u \; dv=u\cdot v-\int v\; du \end{equation} \]

Формулу (1) и называют "формулой интегрирования по частям". Иногда, применяя вышеуказанную теорему, говорят о использовании "метода интегрирования по частям". Нам будет важна суть этого метода, которую и рассмотрим на примерах. Существует несколько стандартных случаев, в которых явно применима формула (1). Именно эти случаи и станут темой данной страницы. Пусть \(P_n(x)\) – многочлен n-й степени. Введём два правила:

Правило №1

Для интегралов вида \(\int P_n(x) \ln x \;dx\), \(\int P_n(x) \arcsin x \;dx\), \(\int P_n(x) \arccos x \;dx\), \(\int P_n(x)\arctg x \;dx\), \(\int P_n(x) \arcctg x \;dx\) принимаем \(dv=P_n(x)dx\).

Правило №2

Для интегралов вида \(\int P_n(x) a^x \;dx\) (\(a\) – некоторое положительное число), \(\int P_n(x) \sin x \;dx\), \(\int P_n(x) \cos x \;dx\), \(\int P_n(x)\ch x \;dx\), \(\int P_n(x) \sh x \;dx\) принимаем \(u=P_n(x)\).

Сразу отмечу, что указанные выше записи не нужно воспринимать буквально. Например, в интегралах вида \(\int P_n(x) \ln x \;dx\) не обязательно будет стоять именно \(\ln x\). Там могут быть расположены и \(\ln 5x\), и \(\ln (10x^2+14x-5)\). Т.е. запись \(\ln x\) нужно воспринимать как своего рода обобщение.

Ещё один момент. Бывает, что формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз. Об этом поговорим подробнее в задачах №4 и №5. Теперь перейдём непосредственно к решению типичных задач. Решение задач, уровень которых чуть выше стандартных, разбирается во второй части.

Задача №1

Условие

Найти \(\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx\).

Решение

Под интегралом расположен многочлен \(3x+4\) и тригонометрическая функция \(\cos (2x-1)\). Это классический случай для применения формулы (1), поэтому возьмём заданный интеграл по частям. Формула (1) требует, чтобы интеграл \(\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx\) был представлен в форме \(\int u \; dv\). Нам нужно выбрать выражения для \(u\) и для \(dv\). Можно в качестве \(u\) принять \(3x+4\), тогда \(dv=\cos (2x-1)dx\). Можно взять \(u=\cos (2x-1)\), тогда \(dv=(3x+4)dx\). Чтобы сделать правильный выбор обратимся к правилу №2. Заданный интеграл \(\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx\) подпадает под вид \(\int P_n(x) \cos x \;dx\) (многочлен \(P_n(x)\) в нашем интеграле имеет вид \(3x+4\)). Согласно правилу №2 нужно выбрать \(u=P_n(x)\), т.е. в нашем случае \(u=3x+4\). Так как \(u=3x+4\), то \(dv=\cos(2x-1)dx\).

Однако недостаточно просто выбрать \(u\) и \(dv\). Нам еще понадобятся значения \(du\) и \(v\). Так как \(u=3x+4\), то:

\[ du=d(3x+4)=(3x+4)'dx=3dx.\]

Теперь разберёмся с функцией \(v\). Так как \(dv=\cos(2x-1)dx\), то согласно определению неопределённого интеграла имеем: \( v=\int \cos(2x-1)\; dx\). Чтобы найти нужный интеграл применим внесение под знак дифференциала:

\[ v=\int \cos(2x-1)\; dx=\frac{1}{2}\cdot \int \cos(2x-1)d(2x-1)=\frac{1}{2}\cdot \sin(2x-1)+C=\frac{\sin(2x-1)}{2}+C. \]

Однако нам нужно не всё бесконечное множество функций \(v\), которое описывает формула \(\frac{\sin(2x-1)}{2}+C\). Нам нужна какая-то одна функция из этого множества. Чтобы получить искомую функцию нужно вместо \(C\) подставить какое-либо число. Проще всего, разумеется, подставить \(C=0\), получив при этом \(v=\frac{\sin(2x-1)}{2}\).

Итак, соберём всё вышеизложенное воедино. Мы имеем: \(u=3x+4\), \(du=3dx\), \(dv=\cos(2x-1)dx\), \(v=\frac{\sin(2x-1)}{2}\). Подставляя всё это в правую часть формулы (1) будем иметь:

\[ \int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=(3x+4)\cdot\frac{\sin(2x-1)}{2}-\int \frac{\sin(2x-1)}{2}\cdot 3dx. \]

Осталось, по сути, только найти \(\int\frac{\sin(2x-1)}{2}\cdot 3dx\). Вынося константу (т.е. \(\frac{3}{2}\)) за знак интеграла и применяя метод внесения под знак дифференциала, получим:

\[ (3x+4)\cdot \frac{\sin(2x-1)}{2}-\int \frac{\sin(2x-1)}{2}\cdot 3dx= \frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}-\frac{3}{2}\int \sin(2x-1) \;dx= \\ =\frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}-\frac{3}{4}\int \sin(2x-1) \;d(2x-1)= \frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}-\frac{3}{4}\cdot (-\cos (2x-1))+C=\\ =\frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}+\frac{3}{4}\cdot \cos (2x-1)+C. \]

Итак,

\[\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=\frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}+\frac{3}{4}\cdot \cos (2x-1)+C.\]

В сокращенном виде процесс решения записывают так:

\[ \int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=\left | \begin{aligned} & u=3x+4; \; du=3xdx.\\ & dv=\cos(2x-1)dx; \; v=\frac{\sin(2x-1)}{2}. \end{aligned} \right |=\\ =(3x+4)\cdot\frac{\sin(2x-1)}{2}-\int \frac{\sin(2x-1)}{2}\cdot 3dx= \frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}-\frac{3}{2}\int \sin(2x-1) \;dx=\\ =\frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}-\frac{3}{4}\cdot (-\cos (2x-1))+C= \frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}+\frac{3}{4}\cdot \cos (2x-1)+C. \]
Ответ:

\(\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=\frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}+\frac{3}{4}\cdot \cos (2x-1)+C\).

Полагаю, здесь не обойдётся без вопроса, поэтому попробую сформулировать его и дать ответ.

Почему мы приняли именно \(u=3x+4\) и \(dv=\cos(2x-1)dx\)? Да, интеграл был решён. Но, может быть, если бы мы взяли \(u=\cos (2x-1)\) и \(dv=(3x+4)dx\) интеграл тоже был бы найден!

Ответ тут прост: если принять \(u=\cos (2x-1)\) и \(dv=(3x+4)dx\), то ничего хорошего из этого не выйдет, – интеграл не упростится. Судите сами: если \(u=\cos(2x-1)\), то \(du=(\cos(2x-1))'dx=-2\sin(2x-1)dx\). Кроме того, так как \(dv=(3x+4)dx\), то:

\[ v=\int (3x+4) \; dx=\frac{3x^2}{2}+4x+C.\]

Приняв \(C=0\), получим \(v=\frac{3x^2}{2}+4x\). Подставим теперь в формулу (1) найденные значения \(u\), \(du\), \(v\) и \(dv\):

\[ \int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=\cos (2x-1)\cdot \left( \frac{3x^2}{2}+4x \right) - \int \left( \frac{3x^2}{2}+4x \right) \cdot (-2\sin(2x-1)dx)=\\ =\cos (2x-1)\cdot \left( \frac{3x^2}{2}+4x \right) +2\cdot\int \left( \frac{3x^2}{2}+4x \right) \sin(2x-1)\;dx \]

И к чему мы пришли? Мы пришли к интегралу \(\int \left( \frac{3x^2}{2}+4x \right) \sin(2x-1)\;dx\), который явно сложнее нежели исходный интеграл \(\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx\). Это говорит о том, что выбор \(u\) и \(dv\) был сделан неудачно. После применения формулы интегрирования по частям полученный интеграл должен быть проще исходного. Находя неопределенный интеграл по частям мы должны упрощать его, а не усложнять, поэтому если после применения формулы (1) интеграл усложнился, то выбор \(u\) и \(dv\) осуществлён некорректно.

Задача №2

Условие

Найти \(\int (3x^4+4x-1) \ln 5x \; dx\).

Решение

Под интегралом расположен многочлен (т.е. \(3x^4+4x-1\)) и \(\ln 5x\). Этот случай подпадает под правило №1, поэтому возьмём интеграл по частям. Заданный интеграл имеет такую же структуру, как и интеграл \(\int P_n(x) \ln x\; dx\). Вновь, как и в задаче №1, нам нужно выбрать какую-то часть подынтегрального выражения \((3x^4+4x-1) \ln 5x \; dx\) в качестве \(u\), а какую-то часть – в качестве \(dv\). Согласно правилу №1, нужно выбрать \(dv=P_n(x)dx\), т.е. в нашем случае \(dv=(3x^4+4x-1)dx\). Если из выражения \((3x^4+4x-1) \ln 5x \; dx\) "изьять" \(dv=(3x^4+4x-1)dx\), то останется \(\ln 5x\) – это и будет функция \(u\). Итак, \(dv=(3x^4+4x-1)dx\), \(u=\ln 5x\). Для применения формулы (1) нам понадобятся также \(du\) и \(v\). Так как \(u=\ln 5x\), то:

\[ du=d(\ln 5x)=(\ln 5x)'dx=\frac{1}{5x}\cdot 5 dx=\frac{1}{x}dx. \]

Теперь найдём функцию \(v\). Так как \(dv=(3x^4+4x-1)dx\), то:

\[ v=\int(3x^4+4x-1)\; dx=\frac{3x^5}{5}+2x^2-x+C. \]

Из всего найденного бесконечного множества функций \(\frac{3x^5}{5}+2x^2-x+C\) нам нужно выбрать одну. А проще всего это сделать приняв \(C=0\), т.е. \(v=\frac{3x^5}{5}+2x^2-x\). Для применения формулы (1) всё готово. Подставим в правую часть указанной формулы значения \(u=\ln 5x\), \(du=\frac{1}{x}dx\), \(v=\frac{3x^5}{5}+2x^2-x\) и \(dv=(3x^4+4x-1)dx\) будем иметь:

\[ \int (3x^4+4x-1) \ln 5x \; dx=\left | \begin{aligned} & u=\ln 5x; \; du=\frac{1}{x}dx.\\ & dv=(3x^4+4x-1)dx; \; v=\frac{3x^5}{5}+2x^2-x. \end{aligned} \right |=\\ =\ln 5x \cdot \left ( \frac{3x^5}{5}+2x^2-x \right)-\int \left ( \frac{3x^5}{5}+2x^2-x \right)\cdot \frac{1}{x}dx=\\ =\left ( \frac{3x^5}{5}+2x^2-x \right)\cdot\ln 5x -\int \left ( \frac{3x^4}{5}+2x-1 \right)dx=\\ =\left ( \frac{3x^5}{5}+2x^2-x \right)\cdot\ln 5x - \left ( \frac{3x^5}{25}+x^2-x \right)+C=\\ =\left ( \frac{3x^5}{5}+2x^2-x \right)\cdot\ln 5x - \frac{3x^5}{25}-x^2+x+C. \]
Ответ:

\(\int (3x^4+4x-1) \ln 5x \; dx=\left ( \frac{3x^5}{5}+2x^2-x \right)\cdot\ln 5x - \frac{3x^5}{25}-x^2+x+C\).

Задача №3

Условие

Найти \(\int \arccos x \; dx\).

Решение

Этот интеграл имеет структуру \(\int P_n(x) \arccos x \;dx\), подпадающую под правило №1. Понимаю, что сразу возникнет резонный вопрос: "а где в заданном интеграле \(\int\arccos x \; dx\) спрятали многочлен \(P_n(x)\)? Там же нет никакого многочлена, только арккосинус и всё!". Однако на самом деле под интегралом расположен не только арккосинус. Я представлю интеграл \(\int arccos x \; dx\) в таком виде: \(\int 1\cdot\arccos x \; dx\). Согласитесь, что от домножения на единицу подынтегральное выражение не изменится. Вот эта единица и есть \(P_n(x)\). Т.е. \(dv=1\cdot dx=dx\). А в качестве \(u\) (согласно правилу №1) принимаем \(\arccos x\), т.е. \(u=\arccos x\). Значения \(du\) и \(v\), кои учавствуют в формуле (1), найдём так же, как и в предыдущих примерах:

\[ du=(\arccos x)'dx=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx;\\ v=\int 1\; dx=x+C. \]

Как и в предыдущих задачах, полагая \(C=0\) получим \(v=x\). Подставляя все найденные параметры в формулу (1), будем иметь следующее:

\[ \int \arccos x \; dx=\left | \begin{aligned} & u=\arccos x; \; du=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx.\\ & dv=dx; \; v=x. \end{aligned} \right |=\\ =\arccos x \cdot x-\int x\cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx \right)= \arccos x \cdot x+\int \frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}=\\ =x\cdot\arccos x-\frac{1}{2}\cdot\int (1-x^2)^{-\frac{1}{2}}d(1-x^2)= =x\cdot\arccos x-\frac{1}{2}\cdot\frac{(1-x^2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C=\\ =x\cdot\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C. \]
Ответ:

\(\int\arccos x \; dx=x\cdot\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C\).

Задача №4

Условие

Найти \(\int (3x^2+x) e^{7x} \; dx\).

Решение

В этой задаче формулу интегрирования по частям придётся применять два раза. Интеграл \(\int (3x^2+x) e^{7x} \; dx\) имеет структуру \(\int P_n(x) a^x \;dx\). В нашем случае \(P_n(x)=3x^2+x\), \(a=e\). Согласно правилу №2 имеем: \(u=3x^2+x\). Соответственно, \(dv=e^{7x}dx\).

\[ du=(3x^2+x)'=(6x+1)dx;\\ v=\int e^{7x}\;dx=\frac{1}{7}\cdot \int e^{7x}\;d(7x)=\frac{1}{7}\cdot e^{7x}+C=\frac{e^{7x}}{7}+C. \]

Опять-таки, как и в предыдущих задачах, полагая \(C=0\), имеем: \(v=\frac{e^{7x}}{7}\).

\[ \int (3x^2+x) e^{7x} \; dx=\left | \begin{aligned} & u=3x^2+x; \; du=(6x+1)dx.\\ & dv=e^{7x}dx; \; v=\frac{e^{7x}}{7}. \end{aligned} \right |=\\ =(3x^2+x)\cdot\frac{e^{7x}}{7}-\int \frac{e^{7x}}{7}\cdot (6x+1)dx= \frac{(3x^2+x)e^{7x}}{7}-\frac{1}{7}\cdot \int (6x+1) e^{7x}\;dx. \]

Мы пришли к интегралу \(\int (6x+1) e^{7x}\;dx\), который вновь необходимо брать по частям. Приняв \(u=6x+1\) и \(dv=e^{7x}dx\) будем иметь:

\[ \frac{(3x^2+x)e^{7x}}{7}-\frac{1}{7}\cdot \int (6x+1) e^{7x}\;dx=\left | \begin{aligned} & u=6x+1; \; du=6dx.\\ & dv=e^{7x}dx; \; v=\frac{e^{7x}}{7}. \end{aligned} \right |=\\ =\frac{(3x^2+x)e^{7x}}{7}-\frac{1}{7}\cdot \left ( (6x+1)\cdot\frac{e^{7x}}{7} - \int\frac{e^{7x}}{7}\cdot 6\;dx \right)=\\ =\frac{(3x^2+x)e^{7x}}{7} -\frac{(6x+1)e^{7x}}{49} +\frac{6}{49}\cdot\int\ e^{7x}\;dx=\\ =\frac{(3x^2+x)e^{7x}}{7} -\frac{(6x+1)e^{7x}}{49} +\frac{6}{49}\cdot\frac{e^{7x}}{7}+C=\\ =\frac{(3x^2+x)e^{7x}}{7} -\frac{(6x+1)e^{7x}}{49} +\frac{6\; e^{7x}}{343}+C. \]

Полученный ответ можно и упростить, раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые:

\[ \frac{(3x^2+x)e^{7x}}{7} -\frac{(6x+1)e^{7x}}{49} +\frac{6\; e^{7x}}{343}+C=e^{7x}\cdot \left( \frac{3x^2}{7}+\frac{x}{49}-\frac{1}{343} \right)+C. \]
Ответ:

\(\int (3x^2+x) e^{7x} \; dx=e^{7x}\cdot \left( \frac{3x^2}{7}+\frac{x}{49}-\frac{1}{343} \right)+C\).

Задача №5

Условие

Найти \(\int (x^2+5)\sin(3x+1) \; dx\).

Решение

Здесь, как и в предыдущей задаче, интегрирование по частям применяется дважды. Подробные пояснения были даны ранее, поэтому приведу только решение:

\[ \int (x^2+5)\sin(3x+1) \; dx=\left | \begin{aligned} & u=x^2+5; \; du=2xdx.\\ & dv=\sin(3x+1)dx; \; v=-\frac{\cos(3x+1)}{3}. \end{aligned} \right |=\\ =(x^2+5)\cdot \left( -\frac{\cos(3x+1)}{3} \right)-\int\left( -\frac{\cos(3x+1)}{3} \right)\cdot 2xdx=\\ = -\frac{(x^2+5)\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2}{3}\int x\cos(3x+1)dx= \left | \begin{aligned} & u=x; \; du=dx.\\ & dv=\cos(3x+1)dx; \; v=\frac{\sin(3x+1)}{3}. \end{aligned} \right |=\\ =-\frac{(x^2+5)\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2}{3}\cdot \left( x\cdot\frac{\sin(3x+1)}{3}-\int\frac{\sin(3x+1)}{3}dx \right)=\\ =-\frac{(x^2+5)\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2x\sin(3x+1)}{9}-\frac{2}{9}\cdot\int\sin(3x+1)dx=\\ =-\frac{(x^2+5)\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2x\sin(3x+1)}{9}-\frac{2}{9}\cdot \left( -\frac{\cos(3x+1)}{3}\right)+C=\\ = -\frac{(x^2+5)\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2x\sin(3x+1)}{9}+\frac{2\cos(3x+1)}{27}+C=\\ =-\frac{x^2\cdot\cos(3x+1)}{3}-\frac{5\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2x\sin(3x+1)}{9}+\frac{2\cos(3x+1)}{27}+C=\\ =-\frac{x^2\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2x\sin(3x+1)}{9}-\frac{43\cos(3x+1)}{27}+C. \]
Ответ:

\(\int (x^2+5)\sin(3x+1) \; dx=-\frac{x^2\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2x\sin(3x+1)}{9}-\frac{43\cos(3x+1)}{27}+C\).

Применение метода интегрирования по частям в несколько нестандартных случаях, не подпадающих под действие правил №1 и №2, будет дано во второй части.

Часть №1
Часть №2