Задача №1
Доказать, что
- \(\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\tg\alpha}{\alpha}=1\)
- \(\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arcsin\alpha}{\alpha}=1\)
- \(\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arctg\alpha}{\alpha}=1\)
Пункт №1
Так как \(\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), то:
Так как \(\lim_{\alpha\to{0}}\cos{0}=1\) и \(\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\sin\alpha}{\alpha}=1\), то:
Формула доказана. Более строгое доказательство (с обоснованием равенства \(\lim_{\alpha\to{0}}\cos\alpha=1\)) можно посмотреть в решебнике Демидовича: задача 1989.
Пункт №2
Сделаем замену \(\alpha=\sin{y}\). Поскольку \(\sin{0}=0\), то из условия \(\alpha\to{0}\) имеем \(y\to{0}\). Кроме того, существует окрестность нуля, в которой \(\arcsin\alpha=\arcsin(\sin{y})=y\), поэтому:
Равенство \(\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arcsin\alpha}{\alpha}=1\) доказано.
Пункт №3
Сделаем замену \(\alpha=\tg{y}\). Поскольку \(\tg{0}=0\), то условия \(\alpha\to{0}\) и \(y\to{0}\) эквивалентны. Кроме того, существует окрестность нуля, в которой \(\arctg\alpha=\arctg\tg{y}=y\), поэтому, опираясь на результаты пункта а), будем иметь:
Равенство \(\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arctg\alpha}{\alpha}=1\) доказано. Доказанные формулы часто используются наряду с первым замечательным пределом.