Задача №1
Вычислить предел \(\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x+1}{3x-5}\right )^{4x+7}\).
Сразу отметим, что основание степени (т.е. \(\frac{3x+1}{3x-5}\)) стремится к единице:
При этом показатель степени (выражение \(4x+7\)) стремится к бесконечности, т.е. \(\lim_{x\to\infty}(4x+7)=\infty\).
Основание степени стремится к единице, показатель степени – к бесконечности, т.е. мы имеем дело с неопределенностью \(1^\infty\). Применим формулу (1) для раскрытия этой неопределённости. В основании степени формулы (1) расположено выражение \(1+\frac{1}{x}\), а в рассматриваемой нами задаче основание степени таково: \(\frac{3x+1}{3x-5}\). Посему первым действием станет формальная подгонка выражения \(\frac{3x+1}{3x-5}\) под вид \(1+\frac{1}{x}\). Для начала прибавим и вычтем единицу:
Следует учесть, что просто так добавить единицу нельзя. Если мы вынуждены добавить единицу, то её же нужно и вычесть, дабы не изменять значения всего выражения. Для продолжения решения учтём, что
Так как \(\frac{3x+1}{3x-5}-1=\frac{6}{3x-5}\), то:
Продолжим «подгонку». В выражении \(1+\frac{1}{x}\) формулы (1) в числителе дроби находится 1, а в нашем выражении \(1+\frac{6}{3x-5}\) в числителе находится \(6\). Чтобы получить \(1\) в числителе, опустим \(6\) в знаменатель с помощью следующего преобразования:
Таким образом,
Итак, основание степени, т.е. \(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\), подогнано под вид \(1+\frac{1}{x}\), который требуется в формуле (1). Теперь начнём работать с показателем степени. Заметьте, что в формуле (1) выражения, стоящие в показатели степени и в знаменателе, одинаковы:
Значит, и в нашей задаче показатель степени и знаменатель нужно привести к одинаковой форме. Чтобы получить в показателе степени выражение \(\frac{3x-5}{6}\), просто домножим показатель степени на эту дробь. Естественно, что для компенсации такого домножения, придется тут же домножить на обратную дробь, т.е. на \(\frac{6}{3x-5}\). Итак, имеем:
Отдельно рассмотрим предел дроби \(\frac{6\cdot(4x+7)}{3x-5}\), расположенной в степени:
Согласно формуле (1) имеем \(\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right )^{\frac{3x-5}{6}}=e\). Кроме того, \(\lim_{x\to\infty}\frac{6\cdot(4x+7)}{3x-5}=8\), поэтому возвращаясь к исходному пределу, получим:
Полное решение без промежуточных пояснений будет иметь такой вид:
Кстати сказать, вовсе не обязательно использовать первую формулу. Если учесть, что \(\frac{6}{3x-5}\to{0}\) при \(x\to\infty\), то применяя формулу (2), получим:
\(\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x+1}{3x-5}\right)^{4x+7}=e^8\).