AMKbook.Net Задачи должны иметь решение
Реклама

Второй замечательный предел

Обычно второй замечательный предел записывают в такой форме:

\[ \begin{equation} \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e \end{equation} \]

Число \(e\), указанное в правой части равенства (1), является иррациональным. Приближённое значение этого числа таково: \(e\approx{2{,}718281828459045}\). Если сделать замену \(t=\frac{1}{x}\), то формулу (1) можно переписать в следующем виде:

\[ \begin{equation} \lim_{t\to{0}}\biggl(1+t\biggr)^{\frac{1}{t}}=e \end{equation} \]

Как и для первого замечательного предела, неважно, какое выражение стоит вместо переменной \(x\) в формуле (1) или вместо переменной \(t\) в формуле (2). Главное – выполнение двух условий:

  1. Основание степени (т.е. выражение в скобках формул (1) и (2)) должно стремиться к единице;
  2. Показатель степени (т.е. \(x\) в формуле (1) или \(\frac{1}{t}\) в формуле (2)) должен стремиться к бесконечности.

Говорят, что второй замечательный предел раскрывает неопределенность \(1^\infty\). Заметьте, что в формуле (1) мы не уточняем, о какой именно бесконечности (\(+\infty\) или \(-\infty\)) идёт речь. В любом из этих случаев формула (1) верна. В формуле (2) переменная \(t\) может стремиться к нулю как слева, так и справа.

Отмечу, что есть также несколько полезных следствий из второго замечательного предела. Примеры на использование второго замечательного предела, равно как и следствий из него, очень популярны у составителей стандартных типовых расчётов и контрольных работ.

Задача №1

Условие

Вычислить предел \(\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x+1}{3x-5}\right )^{4x+7}\).

Решение

Сразу отметим, что основание степени (т.е. \(\frac{3x+1}{3x-5}\)) стремится к единице:

\[ \lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{3x-5}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right| =\lim_{x\to\infty}\frac{3+\frac{1}{x}}{3-\frac{5}{x}} =\frac{3+0}{3-0} =1. \]

При этом показатель степени (выражение \(4x+7\)) стремится к бесконечности, т.е. \(\lim_{x\to\infty}(4x+7)=\infty\).

Основание степени стремится к единице, показатель степени – к бесконечности, т.е. мы имеем дело с неопределенностью \(1^\infty\). Применим формулу (1) для раскрытия этой неопределённости. В основании степени формулы (1) расположено выражение \(1+\frac{1}{x}\), а в рассматриваемой нами задаче основание степени таково: \(\frac{3x+1}{3x-5}\). Посему первым действием станет формальная подгонка выражения \(\frac{3x+1}{3x-5}\) под вид \(1+\frac{1}{x}\). Для начала прибавим и вычтем единицу:

\[ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x+1}{3x-5}\right )^{4x+7} =|1^\infty| =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3x+1}{3x-5}-1\right)^{4x+7} \]

Следует учесть, что просто так добавить единицу нельзя. Если мы вынуждены добавить единицу, то её же нужно и вычесть, дабы не изменять значения всего выражения. Для продолжения решения учтём, что

\[ \frac{3x+1}{3x-5}-1 =\frac{3x+1}{3x-5}-\frac{3x-5}{3x-5} =\frac{3x+1-3x+5}{3x-5} =\frac{6}{3x-5}. \]

Так как \(\frac{3x+1}{3x-5}-1=\frac{6}{3x-5}\), то:

\[ \lim_{x\to\infty}\left(1+ \frac{3x+1}{3x-5}-1\right)^{4x+7} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{6}{3x-5}\right )^{4x+7} \]

Продолжим «подгонку». В выражении \(1+\frac{1}{x}\) формулы (1) в числителе дроби находится 1, а в нашем выражении \(1+\frac{6}{3x-5}\) в числителе находится \(6\). Чтобы получить \(1\) в числителе, опустим \(6\) в знаменатель с помощью следующего преобразования:

\[ 1+\frac{6}{3x-5} =1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}} \]

Таким образом,

\[ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{6}{3x-5}\right )^{4x+7} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right )^{4x+7} \]

Итак, основание степени, т.е. \(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\), подогнано под вид \(1+\frac{1}{x}\), который требуется в формуле (1). Теперь начнём работать с показателем степени. Заметьте, что в формуле (1) выражения, стоящие в показатели степени и в знаменателе, одинаковы:

\[ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\boldgreen{x}}\right)^{\boldgreen{x}} \]

Значит, и в нашей задаче показатель степени и знаменатель нужно привести к одинаковой форме. Чтобы получить в показателе степени выражение \(\frac{3x-5}{6}\), просто домножим показатель степени на эту дробь. Естественно, что для компенсации такого домножения, придется тут же домножить на обратную дробь, т.е. на \(\frac{6}{3x-5}\). Итак, имеем:

\[ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right )^{4x+7} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right )^{\frac{3x-5}{6}\cdot\frac{6}{3x-5}\cdot(4x+7)} =\lim_{x\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right)^{\frac{3x-5}{6}}\right)^{\frac{6\cdot(4x+7)}{3x-5}} \]

Отдельно рассмотрим предел дроби \(\frac{6\cdot(4x+7)}{3x-5}\), расположенной в степени:

\[ \lim_{x\to\infty}\frac{6\cdot(4x+7)}{3x-5} =\left|\frac{\infty}{\infty}\right| =\lim_{x\to\infty}\frac{6\cdot\left(4+\frac{7}{x}\right)}{3-\frac{5}{x}} =6\cdot\frac{4}{3} =8. \]

Согласно формуле (1) имеем \(\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right )^{\frac{3x-5}{6}}=e\). Кроме того, \(\lim_{x\to\infty}\frac{6\cdot(4x+7)}{3x-5}=8\), поэтому возвращаясь к исходному пределу, получим:

\[ \lim_{x\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right)^{\frac{3x-5}{6}}\right)^{\frac{6\cdot(4x+7)}{3x-5}} =e^8. \]

Полное решение без промежуточных пояснений будет иметь такой вид:

\[ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x+1}{3x-5}\right )^{4x+7}=\left|1^\infty\right| =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3x+1}{3x-5}-1\right)^{4x+7} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{6}{3x-5}\right)^{4x+7}=\\ =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right)^{4x+7} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right )^{\frac{3x-5}{6}\cdot\frac{6}{3x-5}\cdot(4x+7)} =\lim_{x\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right)^{\frac{3x-5}{6}}\right)^{\frac{6\cdot(4x+7)}{3x-5}} =e^8. \]

Кстати сказать, вовсе не обязательно использовать первую формулу. Если учесть, что \(\frac{6}{3x-5}\to{0}\) при \(x\to\infty\), то применяя формулу (2), получим:

\[ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x+1}{3x-5}\right )^{4x+7}=\left|1^\infty\right| =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3x+1}{3x-5}-1\right)^{4x+7} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{6}{3x-5}\right)^{4x+7}=\\ =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{6}{3x-5}\right)^{\frac{3x-5}{6}\cdot\frac{6}{3x-5}\cdot(4x+7)} =\lim_{x\to\infty}\left(\left(1+\frac{6}{3x-5}\right)^{\frac{3x-5}{6}}\right)^{\frac{6\cdot(4x+7)}{3x-5}} =e^8. \]
Ответ:

\(\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x+1}{3x-5}\right)^{4x+7}=e^8\).

Задача №2

Условие

Найти предел \(\lim_{x\to{1}}\biggl(7-6x\biggr)^{\frac{x}{3x-3}}\).

Решение

Выражение, стоящее в основании степени, т.е. \(7-6x\), стремится к единице при условии \(x\to{1}\), т.е. \(\lim_{x\to{1}}(7-6x)=7-6\cdot1=1\). Для показателя степени, т.е. \(\frac{x}{3x-3}\), получаем: \(\lim_{x\to{1}}\frac{x}{3x-3}=\infty\). Итак, здесь мы имеем дело с неопределенностью вида \(1^\infty\), которую раскроем с помощью второго замечательного предела.

Для начала отметим, что в формуле (1) переменная \(x\) стремится к бесконечности, в формуле (2) переменная \(t\) стремится к нулю. В нашем случае \(x\to{1}\), поэтому имеет смысл ввести новую переменную, чтобы она стремилась или к нулю (тогда применим формулу (2)), или к бесконечности (тогда применим формулу (1)). Введение новой переменной, вообще говоря, не является обязательным, это будет сделано просто для удобства решения. Проще всего новую переменную \(y\) ввести так: \(y=x-1\). Так как \(x\to{1}\), то \({x-1}\to{0}\), т.е. \(y\to{0}\). Подставляя \(x=y+1\) в рассматриваемый пример, и учитывая \(y\to{0}\), получим:

\[ \lim_{x\to{1}}\biggl(7-6x\biggr )^{\frac{x}{3x-3}} =\left|\begin{aligned}& y=x-1;\;x=y+1\\& y\to{0}\end{aligned}\right|=\\ =\lim_{y\to{0}}\biggl(7-6\cdot(y+1)\biggr)^{\frac{y+1}{3\cdot(y+1)-3}} =\lim_{y\to{0}}\biggl(1-6y\biggr)^\frac{y+1}{3y} =\lim_{y\to 0}\biggl(1+(-6y)\biggr)^\frac{y+1}{3y} \]

Применим формулу (2). Выражение в основании степени в формуле (2), т.е. \(1+t\), соответствует форме выражения в основании степени нашего примера, т.е. \(1+(-6y)\) (выражение \(-6y\) играет роль \(t\)). Формула (2) предполагает, что показатель степени будет иметь вид \(\frac{1}{t}\), т.е. в нашем случае в показателе степени следует получить \(\frac{1}{-6y}\). Домножим показатель степени на выражение \(\frac{1}{-6y}\). Для компенсации такого домножения нужно домножить показатель степени на обратную дробь, т.е. на выражение \(\frac{-6y}{1}=-6y\):

\[ \lim_{y\to{0}}\biggl(1-6y\biggr)^\frac{y+1}{3y}=\lim_{y\to{0}}\biggl(1+(-6y)\biggr)^{\frac{1}{-6y}\cdot(-6y)\cdot\frac{y+1}{3y}} =\lim_{y\to{0}}\left(\biggl(1+(-6y)\biggr)^{\frac{1}{-6y}}\right)^{-2(y+1)} \]

Так как \(\lim_{y\to{0}}\biggl(1+(-6y)\biggr)^{\frac{1}{-6y}}=e\) и \(\lim_{y\to{0}}(-2(y+1))=-2\), то получим:

\[ \lim_{y\to{0}}\left(\biggl(1+(-6y)\biggr)^{\frac{1}{-6y}}\right)^{-2(y+1)} =e^{-2} =\frac{1}{e^2}. \]

Полное решение без пояснений таково:

\[ \lim_{x\to{1}}\biggl(7-6x\biggr)^{\frac{x}{3x-3}} =\left|\begin{aligned}& y=x-1;\;x=y+1\\& y\to{0}\end{aligned}\right| =\lim_{y\to{0}}\biggl(7-6\cdot(y+1)\biggr)^{\frac{y+1}{3\cdot(y+1)-3}}=\\ =\lim_{y\to{0}}\biggl(1-6y\biggr)^\frac{y+1}{3y} =\lim_{y\to{0}}\biggl(1+(-6y)\biggr)^{\frac{1}{-6y}\cdot(-6y)\cdot\frac{y+1}{3y}} =\lim_{y\to{0}}\left(\biggl(1+(-6y)\biggr)^{\frac{1}{-6y}}\right)^{-2(y+1)} =e^{-2} =\frac{1}{e^2}. \]
Ответ:

\(\lim_{x\to{1}}\biggl(7-6x\biggr)^{\frac{x}{3x-3}}=\frac{1}{e^2}\).

Задача №3

Условие

Найти предел \(\lim_{x\to{0}}\biggl(\cos{2x}\biggr)^{\frac{1}{\sin^2{3x}}}\).

Решение

Так как \(\lim_{x\to{0}}(\cos{2x})=1\) и \(\lim_{x\to{0}}\frac{1}{\sin^2{3x}}=\infty\) (напомню, что \(\sin{u}\to{0}\) при \(u\to{0}\)), то мы имеем дело с неопределённостью вида \(1^\infty\). Преобразования, аналогичные рассмотренным в задачах №1 и №2, укажем без подробных пояснений, ибо они были даны ранее:

\[ \lim_{x\to{0}}\biggl(\cos{2x}\biggr)^{\frac{1}{\sin^2{3x}}} =|1^\infty| =\lim_{x\to{0}}\biggl(1+\cos{2x}-1\biggr)^{\frac{1}{\sin^2{3x}}} \]

Так как \(\sin^2x=\frac{1-\cos{2x}}{2}\), то \(\cos{2x}-1=-2\sin^2x\), поэтому:

\[ \lim_{x\to{0}}\biggl(1+\cos{2x}-1\biggr)^{\frac{1}{\sin^2{3x}}} =\lim_{x\to{0}}\biggl(1+\left(-2\sin^2x\right)\biggr)^{\frac{1}{-2\sin^2x}\cdot(-2\sin^2x)\cdot\frac{1}{\sin^2 3x}}=\\ =\lim_{x\to{0}}\left(\biggl(1+\left(-2\sin^2x\right)\biggr)^{\frac{1}{-2\sin^2x}}\right)^{\frac{-2\sin^2{x}}{\sin^2{3x}}} =e^{-\frac{2}{9}}. \]

Здесь мы учли, что \(\lim_{x\to{0}}\frac{\sin^2{x}}{\sin^2{3x}}=\frac{1}{9}\). Подробное описание того, как находить этот предел, дано в соответствующей теме.

Ответ:

\(\lim_{x\to{0}}\biggl(\cos{2x}\biggr)^{\frac{1}{\sin^2{3x}}}=e^{-\frac{2}{9}}\).

Задача №4

Условие

Найти предел \(\lim_{x\to+\infty}x\left(\ln(x+1)-\ln{x}\right)\).

Решение

Так как при \(x>0\) имеем \(\ln(x+1)-\ln{x}=\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)\), то:

\[ \lim_{x\to+\infty}x\left(\ln(x+1)-\ln{x}\right) =\lim_{x\to+\infty}\left(x\cdot\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)\right) \]

Раскладывая дробь \(\frac{x+1}{x}\) на сумму дробей \(\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}\) получим:

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(x\cdot\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)\right) =\lim_{x\to+\infty}\left(x\cdot\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right) =\lim_{x\to+\infty}\left(\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)^x\right) =\ln{e} =1. \]
Ответ:

\(\lim_{x\to+\infty}x\left(\ln(x+1)-\ln{x}\right)=1\).

Задача №5

Условие

Найти предел \(\lim_{x\to{2}}\biggl(3x-5\biggr)^{\frac{2x}{x^2-4}}\).

Решение

Так как \(\lim_{x\to{2}}(3x-5)=6-5=1\) и \(\lim_{x\to{2}}\frac{2x}{x^2-4}=\infty\), то мы имеем дело с неопределенностью вида \(1^\infty\). Подробные пояснения даны в задаче №2, здесь же ограничимся кратким решением. Сделав замену \(t=x-2\), получим:

\[ \lim_{x\to{2}}\biggl(3x-5\biggr)^{\frac{2x}{x^2-4}} =\left|\begin{aligned} & t=x-2;\;x=t+2\\ & t\to{0}\end{aligned}\right| =\lim_{t\to{0}}\biggl(1+3t\biggr)^{\frac{2t+4}{t^2+4t}}=\\ =\lim_{t\to{0}}\biggl(1+3t\biggr)^{\frac{1}{3t}\cdot 3t\cdot\frac{2t+4}{t^2+4t}} =\lim_{t\to{0}}\left(\biggl(1+3t\biggr)^{\frac{1}{3t}}\right)^{\frac{6\cdot(t+2)}{t+4}} =e^3. \]

Можно решить данную задачу и по-иному, используя замену: \(t=\frac{1}{x-2}\). Разумеется, ответ будет тем же:

\[ \lim_{x\to{2}}\biggl(3x-5\biggr)^{\frac{2x}{x^2-4}} =\left|\begin{aligned}& t=\frac{1}{x-2};\;x=\frac{2t+1}{t}\\& t\to\infty\end{aligned}\right| =\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{3}{t}\right)^{t\cdot\frac{4t+2}{4t+1}}=\\ =\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{t}{3}}\right)^{\frac{t}{3}\cdot\frac{3}{t}\cdot\frac{t\cdot(4t+2)}{4t+1}} =\lim_{t\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{\frac{t}{3}}\right)^{\frac{t}{3}}\right)^{\frac{6\cdot(2t+1)}{4t+1}} =e^3. \]
Ответ:

\(\lim_{x\to{2}}\biggl(3x-5\biggr)^{\frac{2x}{x^2-4}}=e^3\).

Задача №6

Условие

Найти предел \(\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2+3}{2x^2-4}\right)^{3x} \).

Решение

Выясним, к чему стремится выражение \(\frac{2x^2+3}{2x^2-4}\) при условии \(x\to\infty\):

\[ \lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+3}{2x^2-4} =\left|\frac{\infty}{\infty}\right| =\lim_{x\to\infty}\frac{2+\frac{3}{x^2}}{2-\frac{4}{x^2}} =\frac{2+0}{2-0}=1. \]

Таким образом, в заданном пределе мы имеем дело с неопределенностью вида \(1^\infty\), которую раскроем с помощью второго замечательного предела:

\[ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2+3}{2x^2-4}\right)^{3x} =|1^\infty| =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2x^2+3}{2x^2-4}-1\right)^{3x}=\\ =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{7}{2x^2-4}\right)^{3x} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{2x^2-4}{7}}\right)^{3x}=\\ =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{2x^2-4}{7}}\right)^{\frac{2x^2-4}{7}\cdot\frac{7}{2x^2-4}\cdot 3x} =\lim_{x\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{\frac{2x^2-4}{7}}\right)^{\frac{2x^2-4}{7}}\right)^{\frac{21x}{2x^2-4}} =e^0 =1. \]
Ответ:

\(\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2+3}{2x^2-4}\right)^{3x}=1\).