Реклама

Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков. Примеры вычисления определителей второго и третьего порядков.

Пусть задана квадратная матрица второго порядка $A=\left( \begin{array} {cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right)$. Определитель этой матрицы (определитель второго порядка) вычисляется по следующей формуле:

\begin{equation} \Delta A=\left| \begin{array} {cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21} \end{equation}

Далее, пусть задана квадратная матрица третьего порядка $A=\left( \begin{array} {ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right)$. Определитель этой матрицы (определитель третьего порядка) вычисляется так:

\begin{equation} \begin{aligned} & \Delta A=\left| \begin{array} {ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right|= a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{21}\cdot a_{32}\cdot a_{13}-\\ & -a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}-a_{23}\cdot a_{32}\cdot a_{11} \end{aligned} \end{equation}

Что значит запись, например, $a_{23}$? показать\скрыть

Для определителей четвёртого и более высоких порядков обычно применяются иные методы вычисления, нежели формулы по типу (1) и (2). Один из методов вычисления определителей высших порядков – следствие из теоремы Лапласа, которое позволяет разложить определитель по элементам строки или столбца.

Пример №1

Вычислить определитель $\left| \begin{array} {cc} 5 & -4 \\ 7 & 6 \end{array} \right|$.

Решение

Имеем определитель второго порядка. Здесь нужно использовать формулу (1). В нашем случае $a_{11}=5$, $a_{12}=-4$, $a_{21}=7$ и $a_{22}=6$. Подставим эти данные в формулу (1):

$$ \left| \begin{array} {cc} 5 & -4 \\ 7 & 6 \end{array} \right|= 5\cdot 6-(-4)\cdot 7=30+28=58. $$

Ответ: $\left| \begin{array} {cc} 5 & -4 \\ 7 & 6 \end{array} \right|=58$.

Пример №2

Решить неравество $\left| \begin{array} {cc} 2 & 3x \\ -4 & -5 \end{array} \right| > 21$.

Решение

Чтобы раскрыть определитель второго порядка, стоящий в левой части заданного неравенства, используем формулу (1). Подставим в эту формулу $a_{11}=2$, $a_{12}=3x$, $a_{21}=-4$ и $a_{22}=-5$:

$$ \left| \begin{array} {cc} 2 & 3x \\ -4 & -5 \end{array} \right|= 2\cdot (-5)-3x\cdot (-4)=-10+12x. $$

Теперь заданное в условии неравенство станет таким: $-10+12x > 21$. Отсюда следует, что $12x > 31$, $x > \frac{31}{12}$.

Ответ: $x > \frac{31}{12}$.

Пример №3

Вычислить определитель $\left| \begin{array} {ccc} -3 & 2 & -5 \\ 10 & 4 & 7\\ 6 & -8 & -9 \end{array} \right|$.

Решение

Мы имеем определитель третьего порядка. Чтобы вычислить его, используем формулу (2). В эту формулу мы подставим $a_{11}=-3$, $a_{12}=2$, $a_{13}=-5$, $a_{21}=10$, $a_{22}=4$, $a_{23}=7$, $a_{31}=6$, $a_{32}=-8$, $a_{33}=-9$.

\begin{aligned} & \left| \begin{array} {ccc} -3 & 2 & -5 \\ 10 & 4 & 7\\ 6 & -8 & -9 \end{array} \right|= -3\cdot 4\cdot (-9)+2\cdot 7 \cdot 6+10\cdot (-8)\cdot (-5)-(-5)\cdot 4\cdot 6 -2\cdot 10\cdot (-9)-7\cdot (-8)\cdot (-3)=\\ & = 108+84+400+120+180-168=724. \end{aligned}

Ответ: $\left| \begin{array} {ccc} -3 & 2 & -5 \\ 10 & 4 & 7\\ 6 & -8 & -9 \end{array} \right|=724$.

Вернуться к списку тем Задать вопрос на форуме Мой аккаунт ВКонтакте Записаться на курс онлайн-занятий